Zur Ermittlung des "hedge ratio" h

Nach den vorstehenden Ausführungen erübrigt nun noch klarzulegen, wie das Absicherungsverhältnis ("hedge ratio" h) zu interpretieren und zu rechnungsmäßigem Ausdruck zu bringen ist.

Das "hedge ratio" h bestimmt die Strukturierung des Hedge-Postens über die Gewichtung der einzusetzenden Futures-Kontrakte im Verhältnis zum Umfang der abzusichernden Position im Effektivmarkt. Ist es das erklärte Ziel, das Preisrisiko aus dem Grundgeschäft in seinen gesamten Ausmaßen vollständig zu bedecken, es mithin zu eliminieren, so ist zu fordern, dass den durch Marktpreisänderungen ausgelösten Wertänderungen beim Hedge-Objekt nach Möglichkeit gleich hohe Wertänderungen bei den zu Sicherungszwecken verwendeten Terminkontrakten (dem Hedge-Instrument) gegenüberstehen ("monetäre Äquivalenz"). Der spezifische Aufbau der Position bieten dann die Gewähr dafür, dass jede Wertänderung bei den Terminkontrakten dem Betrag nach nicht nur sich jeder Wertänderung des Grundgeschäfts gleichstellt, sondern jedes Mal auch in derselben Höhe entgegengerichtet verläuft.

Formal ist das "hedge ratio" h definiert als

h = N_F/K_n   ,

mit:

N_F : Nominalwert, den die eingesetzten Futures-Kontrakte insgesamt repräsentieren (= Position in Futures), und

K_n : Gesamtumfang des Effektivpostens ("exposure" im Hedge-Objekt), der abgesichert werden soll.

Die vorstehenden Größen N_F und K_n sollen für die Dauer des Hedge konstant bleiben. Den Zahlenangaben im vorherigen Beispielsfall treubleibend decken somit 1000 auf Termin verkaufte Feinunzen Gold (N_F =1000, repräsentiert von insgesamt X = 10 COMEX-Gold-Futures-Kontrakten) den Absicherungsbedarf aus dem Effektivposten von ebenfalls 1000 Feinunzen Gold (K_n). Ergo erhält man ein Hedge-Verhältnis h von genau 1.

Dem Hedge-Verhältnis fällt die Aufgabe zu, die unterschiedlichen Preiselastizitäten* im Cash- und Futures-Markt in einem zweckentsprechenden Verhältnis auszugleichen. Es misst dazu die Empfindlichkeit (Sensitivität) der Preisänderungen der zu hedgenden Position in Relation zu Kursänderungen des Futures. Änderte sich beispielsweise der Kurs des Spotmarkt-Instruments durchschnittlich um das 1,2-fache der Kursänderungen des Futures, so ist zur Minimierung des Preisrisikos ein h von 1,2 am meisten zu empfehlen, auf dessen Grundlage dann die notwendige Anpassung der Position vorzunehmen wäre. D. h. zur Erreichung der Ausschaltung eines Preisrisikos wären in diesem Fall genau 1,2 Futures-Kontrakte je abzusicherndem Posten in Höhe eines Nominalwerts des Futures einzusetzen. Insoweit misst h die Zahl der zu kaufenden bzw. verkaufenden Futures-Kontrakte (das Kontraktvolumen in Long- bzw. Short-Futures) pro Kontrakteinheit des Hedge-Objekts.

[* Unter Preiselastizität versteht man hier allgemein das Verhältnis der relativen (empirischen) Veränderungen der Preise zweier Werte. Die Preiselastizität beantwortet die Frage, in welchem Maße sich der eine Preis ändert, wenn sich der andere, in Beziehung stehende Preis um eine gegebene Preiseinheit ändert.]

Analytisch entspricht demnach das "minimum variance hedge ratio" h^min dem Verhältnis der Preisänderungen von Cash-Preisen ΔK zu den Preisänderungen der Futureskurse ΔF. Wir erhalten als Varianz-minimierenden Hedge-Quotienten somit den folgenden Ausdruck:

h^min = ΔK/ΔF = N_F^min/K_n   .

 

 

 

Nun aber lässt sich die optimale Anzahl von Futures-Kontrakten X^min, die das Preisrisiko des Effektivpostens unter Berücksichtigung des Hedge-Verhältnisses h^min tunlichst gering in Erscheinung treten lässt, auf einfache Weise ausrechnen. Die vorstehende Gleichung umgeformt ergibt:

(ΔK/ΔF) × K_n= N_F^min   .

Da jedoch N_F^min = F_n × X^min, erhalten wir: F_n × X^min = K_n × h^min. Und weiterhin:

X^min = (K_n/F_n) × h^min   .

Diese Gleichung spielt uns das gesuchte Ergebnis in die Hand; denn der hinter ihr stehende Sachverhalt besagt: Die das Kursrisiko minimierende Anzahl von Futures-Kontrakten X^min stimmt überein mit dem Verhältnis des Umfangs des Effektivpostens, der gesichert werden soll, zu der nominalen Kontraktgröße des "underlying" eines Futures-Kontrakts multipliziert mit dem "minimum variance hedge ratio" h^min. Das "minimum variance hedge ratio" h^min seinerseits ist definiert als das Verhältnis der Cashkursänderungen zu den Futureskursänderungen.

Die praktische Implementierung eines Hedge gemäß dem zugedachten Hedge-Verhältnis macht es erforderlich, h zunächst rechnerisch zu ermitteln. Je nach Art des Hedge-Objekts bieten sich hierzu unterschiedliche Verfahren an. Als Ausgangspunkt der Berechnung kann eine vorliegende Datenbasis von sich nicht kreuzenden historischen Kurssequenzen dienen mit einer Dauer, die sich idealerweise mit jener der gesamten Hedge-Periode deckt. Da Hedging praktisch jedoch immer zukunftsorientierte Werte voraussetzt, ist in einem nächsten Schritt eine geeignete Extrapolation des auf beobachteten, vergangenen Kursdaten beruhenden Hedge-Quotienten in die Zukunft notwendig. Um also ein Optimum auch mit Gestaltungsanspruch zu bestimmen, wäre mithin als nächstes die Frage zu erörtern: Wie lassen sich zukunftsbezogene Daten mit hinreichender Genauigkeit aus historischen Kursen herleiten?

Regressionsanalyse

Zur Bestimmung desjenigen Hedge-Quotienten h, welcher in einem Hedge die Reduzierung des Preisrisikos auf das geringstmögliche Ausmaß verheißt, greift man üblicherweise auf grundlegende Techniken der Statistik zurück, namentlich auf die sogenannte Regressionsanalyse. Als zweckmäßiger Zeitraum für die einer Regressionsanalyse als Grundlage dienenden historischen Ausgangsdaten hat sich in der Praxis die geplante Dauer der Aufrechterhaltung des Hedge-Postens gut bewährt. Die eigentliche Kalkulation ist dabei möglichst zeitnah vor der tatsächlichen Begründung des Hedge durchzuführen, wodurch das Ergebnis der Berechnungen im Markt seine reine, unmittelbare Verwirklichung findet. Sind die Kursänderungen hierbei nach statistischen Gesetzen als normalverteilt anzusehen, so lässt sich das "minimum variance hedge ratio" h^min definieren als Reagibilitäts- oder Sensitivitätsfaktor, dem die folgende logische Verknüpfung zugrunde liegt:

h^min = Cov (ΔK, ΔF) / Var (ΔF) = (δ_k / δ_f) × ρ_k,f   *,

mit

Cov (ΔK, ΔF) : Kovarianz der Änderung der Cash-Kurse mit der Änderung der Futureskurse,

Var (ΔF) : Varianz der Änderung der Futureskurse,

δ_k   :    Standardabweichung der Änderung der Cash-Kurse,

δ_f    :    Standardabweichung der Änderung der Futureskurse, und

ρ_k,f  :    Korrelationskoeffizient zwischen der Änderung der Cash- und Futureskurse,

jeweils bezogen auf den Zeitraum der Gesamtdauer des Hedge.

[* Für mathematische Details Teilnahme empfindende Leser der Hinweis: Man erhält die obige Lösungsgleichung, indem man die Varianz der Wertänderung des Hedge-Postens insgesamt nach h ableitet und null setzt. Ist die zweite Ableitung positiv, so ist es offenbar, dass der Wert, den h minimiert, genau gleich ist dem Wert von Cov (ΔK, ΔF) / Var (ΔF).]

Graphisch entspricht h dem Steigungsparameter der linearen Regressionsgeraden (β), den man erhält, wenn man in einem Regressionsdiagramm (Streudiagramm, "scatterplot") die Zeitreihe der Veränderungen der Cash-Kurse ΔK auf die Zeitreihe der Veränderungen der Futureskurse ΔF abträgt ("regressiert"). Letztere betreffen nicht die Renditen aus der Kontraktwertänderung des Futures, sondern ausschließlich die Veränderungen im Futureskurs selbst, einheitlich ausgerichtet auf die Laufzeit des Hedge. Die nach der "Methode der kleinsten quadratischen Abweichungen" ermittelte lineare Regressionsgerade hat hierbei die folgende algebraische Schätz-Funktionsgleichung:

ΔK = α + ΔF × β + ε   ,

mit: α = Absolutglied, das im Falle vom h = 1 zugleich einen Schätzwert für die erwartete Basis bei Auflösung des Hedge liefert; β = Regressionskoeffizient, der die Steigung (tan α) der linearen Regressionsgeraden beschreibt, und ε = Störterm, dessen Quadrat es zu minimieren gilt.

[Hinweis: Der Störterm ε (Residuum) misst den Abstand der Punkte im Streudiagramm von der Regressionsgeraden (in vertikaler Richtung). Für den Störterm ε wird unterstellt, er sei normalverteilt, habe einen Erwartungswert von null und sei untereinander und zu allen anderen Kursen unkorreliert. Die exakte Lage der Regressionsgeraden wird in der Weise festgelegt, dass die Summe der Werte der quadrierten Störterme (∑ε²) minimal wird.]

Aussagen zur Güte des linearen Zusammenhangs liefert das in der Statistik gebräuchliche Bestimmtheitsmaß R² (Determinationskoeffizient). R² lässt sich definieren als Quadrat des Korrelationskoeffizienten ρ_k,f, d.h. R² = ρ²_k,f, wobei R² = [Cov (ΔK, ΔF)]² / [Var (ΔF) × Var (ΔK)]. Das Bestimmtheitsmaß R² misst hierbei den Anteil der Änderungen der Cash-Kurse, der direkt auf Änderungen der Futureskurse zurückzuführen ist. R² hat einen Definitionsbereich von 0 bis +1 einschließlich. Je weiter sich R² dem Wert +1 annähert, desto näher liegen die beobachteten Datenpaare im Durchschnitt an der Regressionsgeraden und desto stärker ist damit der Erklärungszusammenhang der untersuchten Zeitreihen. Da eine hohe Korrelation Voraussetzung ist für einen funktionstüchtigen Hedge (sie reduziert bekanntlich das Basisrisiko), sollte der dem Risiko abholde Disponierende (unter Beobachtung der Marktliquidität) unter diesen Umständen nur auf solche Terminkontrakte zurückgreifen, die unter den zur Auswahl stehenden die höchste Korrelation mit dem Hedge-Objekt aufweisen. Das Bestimmtheitsmaß R² lässt sich hierbei zugleich als ein Indikator für die zu erwartende Hedge-Effizienz ("hedge effectiveness") auffassen.

Der Zusammenhang zwischen Basisrisiko und originärem Preisrisiko ist, wie im Kapitel über das Basisrisiko skizziert, definiert durch den folgenden Ausdruck:

Var (B) = Var (K) × (1 – ρ²_k,f)   .

Man erkennt daraus, dass aufgrund der vorliegenden Axiomatik das Basisrisiko Var (B) immer dann gleich null wird, wenn das Bestimmtheitsmaß R² = ρ²_k,f den Wert +1 annimmt. Wenn hingegen R² gleich 0 ist, dann sind Basisrisiko und Preisrisiko identisch und der Hedge wird damit vollkommen ineffizient.

Welche Zahl hierbei ganz konkret für R² ≠ 1 als noch vertretbar und zulässig zu betrachten ist, mag individuell unterschiedlich beurteilt werden. Praktisch aber wird diese wohl vom Grad der persönlichen Risikoneigung abhängig sein, nicht minder als von der momentan erwarteten Marktentwicklung. Sollte indes in einem Anwendungsfall R² unterhalb von 0,4 gelegen sein, so lässt sich erfahrungsgemäß mit jenem Futures eine Genüge leistende Kurssicherung nicht mehr herbeiführen.

Alle vorstehenden Analysen und Aussagen zum Hedge-Verhältnis h gelten im Übrigen sinngemäß gleichermaßen für Anwendungsfälle eines "direct hedge" wie auch für jene eines "cross hedge".

Es sei abschließend ausdrücklich ins Gedächtnis gerufen, dass eine auf Vergangenheitsdaten beruhende, mit statistischen Verfahren ermittelte Kennzahl, wie das "hedge ratio" h, bestenfalls eine Näherungslösung für das gesuchte (Ex-ante-) Hedge-Verhältnis darstellt. Als eine wichtige Voraussetzung für den Erhalt verlässlicher Werte sei hier insbesondere die der "Stationarität" von h in der Zeit hervorgehoben: Bliebe das Hedge-Verhältnis h von Periode zu Periode tatsächlich konstant, ließe es sich aus erfolgten Kursdaten zweifellos auch mit Anspruch auf Zuverlässigkeit schätzen. (Jedoch darf an dieser Stelle nicht verabsäumt werden, auf weitere, zum Teil recht heroische Modellannahmen hinzuweisen: Neben einer strukturellen Identität des Futures sind insbesondere stochastische Unabhängigkeit der periodischen Verteilungen und Maßgeblichkeit vergangener Kursverläufe für zukünftige Kursverläufe zusätzlich zu unterstellen.)

Fazit und abschließende Bemerkungen: Sowohl im Hinblick auf die Frage, ob es überhaupt sinnvoll ist, eine neuerliche vertragliche Verpflichtung einzugehen, als auch auf die Frage, ob und wie eine sich später daraus einstellende Risikoposition zu beherrschen ist, erweist sich oftmals die Möglichkeit, ein durch Bindung an vergangene Verpflichtungen ausgelöstes Preisrisiko gezielt steuern zu können, als ausschlaggebend für die Entscheidungsfindung. So verstanden erweitert Hedging mit Futures als Durchführungsmittel den Handlungsspielraum, weil es dem auf die Zukunft bedachten Disponierenden eine zusätzliche Handhabe verschafft, ein aus dem Abschluss einer kontraktlichen Verpflichtung resultierendes unerwünschtes Preisrisiko auf ein individuelles, bevorzugtes Ausmaß zu reduzieren. Besteht das Ziel hierbei darin, das Preisrisiko einer Hedge-Position möglichst niedrig zu gestalten, so steht und fällt die Effektivität eines Hedge mit der zutreffenden Schätzung des "hedge ratio" h: der zweckerfüllenden Zahl an einzusetzenden Futures-Kontrakten als Terminmarktanteil eines infrage stehenden Hedge-Postens. Zur Erreichung dieses Zieles ist eine sorgfältige Abwägung zahlreicher realwirtschaftlicher Einflussgrößen, zumal eine akkurate Analyse des gegenwärtigen und des in Zukunft zu gewärtigenden Preisgefüges, unverzichtbare Voraussetzung. Allein auf diese Weise lassen sich die vom Effektiv- und Terminmarkt ausgehenden Einflüsse ganzheitlich in den Kalkül einbeziehen und im Hinblick auf mögliche Auswirkungen auf Wertänderungen des Hedge-Postens auch gezielt steuern. Verlässliche Planungsdaten werden somit unverzichtbar.

Des Weiteren ist es – insbesondere für exportorientierte Unternehmungen – als unerlässlich anzusehen, im Vorwege jeder Einrichtung eines Hedgegeschäftes nicht nur in jedem Einzelfall die Auswirkungen von Zins-, Preis- und sonstigen Werteänderungen auf den Zielbeitrag des operativen Grundgeschäfts (der "gewöhnlichen Geschäftstätigkeit"), sondern darüber hinaus dauerhafte Änderungen der relevanten Spotmarkpreise und Kassakurse auf das über alle Risiken aggregierte Risikoumfeld im Ganzen systematisch abzuschätzen und auf der Grundlage eines bestehenden spezifischen Risikoprofils adäquat in die Planung mit einzustellen ("Hedging als strategisches Management-Instrument"). Nur auf diese Weise lässt sich über den Einsatz risikopolitischer Instrumentarien der Gesamtwert eines Unternehmens langfristig und dauerhaft steigern.