Bestimmung des "hedge ratio" h

Zur Ermittlung des "hedge ratio" h

Für ein volles Verständnis der im Vorausgehenden erörterten Grundtatsachen über den Hedge-Quotienten ("hedge ratio" h) ist es von Wichtigkeit, sich darüber klar auszusprechen, wie das so beschaffene Absicherungsverhältnis zu deuten und zu rechnungsmäßigem Ausdruck zu bringen ist.

Hauptzweck des "hedge ratio" h ist die Ergründung des am meisten zu empfehlenden (optimalen) Aufbaus für einen infrage stehenden Hedge-Posten. Der erst der genaueren Bestimmung bedürftige Ziffernansatz des Hedge-Quotienten gibt Auskunft über die Gewichtung der an einem Hedge maßgeblich einbezogenen Teilkräfte, d.i. die beim Hedging einzusetzende Anzahl von Futures-Kontrakten im Verhältnis zum Umfang des im Effektivmarkt abzusichernden Risikopostens. Ist es das erklärte Ziel des Kursversicherers, das Preisrisiko aus dem Grundgeschäft in seinem gesamten Ausmaß zu bedecken, es mithin aus seiner Wirtschaft gewissermaßen herauszulösen, so ist zu fordern, dass den durch Marktpreisbewegungen hervorgebrachten Wertänderungen beim Hedge-Gegenstand nach Möglichkeit gleich hohe Wertänderungen bei den zu Sicherungszwecken verwendeten Terminkontrakten (dem Hedge-Instrument) gegenüberstehen ("monetäre Äquivalenz"). Erst unter dieser Voraussetzung bietet der besondere Aufbau des Hedge-Postens als Ganzes die Gewähr dafür, dass nicht nur jede Wertveränderung bei den Terminkontrakten sich dem Betrag nach jeder Wertveränderung des Grundgeschäfts gleichstellt, sondern jedes Mal auch in derselben Höhe entgegengerichtet verläuft, wodurch die Wertsumme des Hedge-Postens auf dem gegenwärtigen Stand erhalten bleibt und ihn vor Einbußen bewahrt.

Das "hedge ratio" h sei förmlich bestimmt durch

h = N_F/K_n   ,

mit:

N_F : Nominalwert, den die eingesetzten Futures-Kontrakte insgesamt verkörpern (= Position in Futures);

K_n : Gesamtumfang des Effektivpostens ("exposure" im Hedge-Objekt), der abgesichert werden soll.

Die vorstehenden Größen N_F und K_n sollen für die Dauer des Hedge unverändert bleiben. Den Zahlenangaben im vorangegangenen Beispielsfall treubleibend, decken somit 1000 auf Termin verkaufte Feinunzen Gold (N_F =1000, repräsentiert im Ganzen von X = 10 COMEX-Gold-Futures-Kontrakten) den Absicherungsbedarf aus dem Effektivposten von ebenfalls 1000 Feinunzen Gold (K_n). Ergo erhält man ein Hedge-Verhältnis h von genau 1.

Dem Hedge-Verhältnis fällt die Aufgabe zu, die unterschiedlichen Preiselastizitäten* im Spot- und im Futures-Markt in einem zweckentsprechenden Verhältnis auszugleichen. Es misst zu dem angesprochenen Gebrauchszweck die Empfindlichkeit (Sensitivität) der Preisänderungen des zu hedgenden Postens im Verhältnis zu den Kursänderungen des Futures. Veränderte sich beispielsweise der Kurs des sicherungsbedürftigen Spotmarkt-Instruments im Durchschnitt um das 1,2-fache der Kursänderungen des Futures, so ist zur Minimierung des Preisrisikos ein h von 1,2 am Platze, auf dessen Grundlage dann die notwendige Anpassung der Position vorzunehmen wäre. D.h. zur Ausschaltung des Preisrisikos wären in diesem Fall genau passend 1,2 Futures-Kontrakte je abzusicherndem Posten im Umfang eines Nominalwerts des Futures einzusetzen. Insoweit misst h die Zahl der zu kaufenden bzw. verkaufenden Futures-Kontrakte (das Kontraktvolumen in Long- bzw. Short-Futures) je Kontrakteinheit des Hedge-Objekts.

[* Unter Preiselastizität versteht man allgemein das Verhältnis der relativen (hier empirischen) Veränderungen in den Preisen zweier Werte. Die Preiselastizität gibt Antwort auf die Frage, in welchem Maße sich der Preis ändert, wenn der andere, in Beziehung stehende Preis sich um eine gegebene Preiseinheit verändert.]

Analytisch entspricht demnach das "minimum variance hedge ratio" h^min dem Verhältnis der Preisänderungen von Cash-Preisen ΔK zu den Preisänderungen der Futureskurse ΔF. Wir erhalten als Varianz-minimierenden Hedge-Quotienten somit den folgenden Ausdruck:

h^min = ΔK/ΔF = N_F^min/K_n   .

Nun aber lässt sich die optimale Anzahl von Futures-Kontrakten X^min, die das Preisrisiko des Effektivpostens unter Berücksichtigung des Hedge-Verhältnisses h^min bis auf ein unvermeidbares zurücksetzt, auf einfache Weise ausrechnen. Die vorstehende Gleichung umgeformt ergibt:

(ΔK/ΔF) × K_n= N_F^min   .

Da jedoch N_F^min = F_n × X^min, erhalten wir: F_n × X^min = K_n × h^min. Und weiter:

X^min = (K_n/F_n) × h^min   .

Diese Gleichung spielt uns nun das gesuchte Ergebnis ungezwungen in die Hand. Der hinter ihr stehende Sachverhalt besagt: Die das Kursrisiko minimierende Anzahl von Futures-Kontrakten X^min ist übereinstimmend mit dem Verhältnis des Umfangs des Effektivpostens, der gesichert werden soll, zur nominalen Kontraktgröße des "underlying" eines Futures-Kontrakts multipliziert mit dem "minimum variance hedge ratio" h^min. Das "minimum variance hedge ratio" h^min seinerseits ist definiert als das Verhältnis der Cashkursänderungen zu den Futureskursänderungen.

Die Verwirklichung eines Hedge gemäß dem zugedachten Hedge-Verhältnis macht es in der Anwendung erforderlich, h zunächst auf rechnerischem Wege auszumitteln. Je nach Art des Hedge-Gegenstandes bieten sich hierzu unterschiedliche Kalkulationsverfahren an. Als Ausgangspunkt der Berechnung kann eine vorliegende Datenbank von sich nicht kreuzenden Kurssequenzen aus der Vergangenheit dienen, deren Dauer sich in mustergültiger Weise mit der der gesamten zeitlichen Erstreckung des Hedge deckt. Da Hedging praktisch jedoch immer in die Zukunft gerichtete Werte voraussetzt, ist in einem nächsten Schritt eine geeignete Extrapolation des auf gegenwärtig wahrgenommenen oder vergangenen Kursdaten beruhenden Hedge-Quotienten für fernere Tage notwendig. Um also ein Optimum auch mit Gestaltungsanspruch bestimmen zu können, wäre mithin nächstfolgend die Frage zu erörtern: Wie lassen sich zukunftsbezogene Daten mit hinreichender Genauigkeit aus zeitlich zurückliegenden Kursen herleiten?

Regressionsanalyse

Zur Bestimmung desjenigen Hedge-Quotienten h, welcher in einem Hedge die Zurückführung des Preisrisikos auf das überhaupt mögliche geringste Ausmaß verheißt, greift man üblicherweise auf grundlegende Techniken der Statistik zurück, namentlich auf die sogenannte Regressionsanalyse. Als zweckmäßiger Zeitraum für die einer Regressionsanalyse als Urmaterial dienenden historischen Ausgangsdaten hat sich in der Praxis die geplante Dauer der Aufrechterhaltung des Hedge-Postens gut bewährt. Die eigentliche Kalkulation ist dabei möglichst zeitnah vor der tatsächlichen Errichtung des Hedge durchzuführen, wodurch das Ergebnis der vorgenommenen Rechnungsoperation im Markt seine reinste, unmittelbarste Verwirklichung zu finden verspricht. Lassen sich die Veränderungen im Kurse hierbei den statistischen Gesetzen gemäß gut als normalverteilt erklären, so lässt sich das "minimum variance hedge ratio" h^min beschreiben als Reagibilitäts- oder Sensitivitätsfaktor, dem nachfolgende logische Verknüpfung zugrunde liegt:

h^min = Cov (ΔK, ΔF) / Var (ΔF) = (δ_k / δ_f) × ρ_k,f   *,

mit

Cov (ΔK, ΔF) : Kovarianz der Änderung der Cash-Kurse mit der Änderung der Futureskurse,

Var (ΔF) : Varianz der Änderung der Futureskurse,

δ_k   :    Standardabweichung der Änderung der Cash-Kurse,

δ_f    :    Standardabweichung der Änderung der Futureskurse, und

ρ_k,f  :    Korrelationskoeffizient zwischen der Änderung der Cash- und der Futureskurse,

gewendet auf den jeweiligen Zeitraum der Gesamtdauer des Hedge.

[* Besonders für die für mathematische Feinheiten Teilnahme empfindenden Leser sei auf Folgendes hingewiesen: Man gelangt zur obigen Lösungsgleichung, indem man die Varianz der Wertänderung des Hedge-Postens als Ganzes nach h ableitet und gleich null setzt. Ist die zweite Ableitung positiv, so ist es offenbar, dass der Wert, den h minimiert, genau gleich ist dem Wert von Cov (ΔK, ΔF) / Var (ΔF).]

Zeichnerisch dargestellt entspricht h dem Steigungsparameter der linearen Regressionsgeraden (β), den man erhält, wenn man in einem Regressionsdiagramm (Streudiagramm, "scatterplot") die Zeitreihe der Veränderungen der Cash-Kurse ΔK auf die Zeitreihe der Veränderungen der Futureskurse ΔF abträgt ("regressiert"). Letztere betreffen nicht die Renditen aus der Kontraktwertänderung des Futures, sondern ausschließlich die Veränderungen im Futureskurs selbst, einheitlich ausgerichtet auf die Laufzeit des Hedge. Die nach der "Methode der kleinsten quadratischen Abweichungen" ermittelte lineare Regressionsgerade hat hierbei die folgende algebraische Schätz-Funktionsgleichung:

ΔK = α + ΔF × β + ε   ,

mit: α = Absolutglied, das im Falle vom h = 1 zugleich einen Schätzwert für die erwartete Basis bei Auflösung des Hedge abgibt; β = Regressionskoeffizient, der die Steigung (tan α) der linearen Regressionsgeraden beschreibt, und ε = Störterm, dessen Quadrat zu minimieren Aufgabe ist.

[Hinweis: Der Störterm ε (Residuum) misst den Abstand der Punkte im Streudiagramm von der Regressionsgeraden (in vertikaler Richtung). Für den Störterm ε wird unterstellt, er sei normalverteilt, habe einen Erwartungswert von null und sei untereinander und zu allen anderen Kursen unkorreliert. Die exakte Lage der Regressionsgeraden wird in der Weise festgelegt, dass die Summe der Werte der quadrierten Störterme (∑ε²) minimal wird.]

Aussagen zur Güte des linearen Zusammenhangs liefert das in der Statistik gebräuchliche Bestimmtheitsmaß R² (Determinationskoeffizient). R² lässt sich definieren als Quadrat des Korrelationskoeffizienten ρ_k,f, d.h. R² = ρ²_k,f, wobei R² = [Cov (ΔK, ΔF)]² / [Var (ΔF) × Var (ΔK)]. Das Bestimmtheitsmaß R² misst hierbei jenen Anteil der Veränderungen bei den Cash-Kursen, welcher unmittelbar auf Änderungen der Futureskurse zurückzuführen ist. R² hat einen Definitionsbereich von 0 bis +1 einschließlich. Je weiter sich R² dem Wert +1 annähert, desto näher liegen die beobachteten Datenpaare im Durchschnitt an der Regressionsgeraden und desto stärker ist damit der Erklärungszusammenhang der untersuchten Zeitreihen. Da eine hohe Korrelation Grunderfordernis ist für einen funktionstüchtigen Hedge (sie mindert bekanntlich das Basisrisiko), sollte der dem Risiko abholde Entscheidungsträger (unter Beobachtung der Marktliquidität) unter diesen Umständen nur zu solchen Terminkontrakten Zuflucht nehmen, die unter den zur Auswahl stehenden die höchste Korrelation mit dem Hedge-Objekt aufweisen. Das Bestimmtheitsmaß R² lässt sich hierbei zugleich als ein Indikator für die zu erwartende Hedge-Effizienz ("hedge effectiveness") auffassen.

Der Zusammenhang zwischen Basisrisiko und originärem Preisrisiko ist, wie im Kapitel über das Basisrisiko dargelegt, definiert durch den folgenden Ausdruck:

Var (B) = Var (K) × (1 – ρ²_k,f)   .

Man sieht daraus, dass gemäß der vorliegenden Axiomatik das Basisrisiko Var (B) immer dann gleich null wird, wenn das Bestimmtheitsmaß R² = ρ²_k,f den Wert +1 annimmt. Wenn hingegen R² gleich 0 ist, dann fallen Basisrisiko und Preisrisiko zusammen und der Hedge wird damit vollkommen ineffizient.

Welche Zahl hierbei tatsächlich für R² ≠ 1 als noch vertretbar und zulässig zu betrachten ist, mag ein jeder auf sich beschränkt unterschiedlich beurteilen. Bei der Verwirklichung aber wird diese sehr wesentlich vom Grad der persönlichen Risikoneigung abhängig sein, nicht minder als von der in Aussicht stehenden, erwarteten Marktentwicklung. Sollte indes in einem Anwendungsfall R² unterhalb von 0,4 gelegen sein, so lässt sich erfahrungsgemäß mit jenem Futures eine Genüge leistende Kurssicherung nicht mehr herbeiführen.

Alle vorstehenden Untersuchungen und Aussagen mit Beziehung auf das Hedge-Verhältnis h gelten im Übrigen sinngemäß gleichermaßen sowohl für Anwendungsfälle eines "direct hedge" als auch für jene eines "cross hedge".

Zum Schluss sei ausdrücklich ins Gedächtnis gerufen, dass eine auf Vergangenheitsdaten beruhende, mit statistischen Verfahren ermittelte Kennzahl, wie das "hedge ratio" h eine ist, bestenfalls eine brauchbare Näherungslösung für das gesuchte (Ex-ante-) Hedge-Verhältnis abgibt. Als eine wichtige Voraussetzung für den Erhalt zuverlässiger Werte sei hier insbesondere die der "Stationarität" von h in der Zeit hervorgehoben: Bliebe das Hedge-Verhältnis h von Periode zu Periode tatsächlich konstant, ließe es sich aus erfolgten Kursdaten zweifellos auch mit Anspruch auf Zuverlässigkeit schätzen. Wohl aber darf an diesem Ort nicht verabsäumt werden, auf weitere, zum Teil recht heroische Modellannahmen aufmerksam zu machen: Neben einer strukturellen Identität des Futures sind insbesondere stochastische Unabhängigkeit der periodischen Verteilungen und Maßgeblichkeit vergangener Kursverläufe für zukünftige Kursverläufe zusätzlich zu unterstellen.

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Schlussergebnis und abschließende Anmerkungen: Sei es im Hinblick auf die Fragestellung, ob es überhaupt zweckdienlich sei, eine neuerliche vertragliche Geschäftsverbindlichkeit einzugehen, sei es auf die Vorfrage, ob und bejahendenfalls inwieweit ein sich künftighin daraus ergebender Risikoposten zu beherrschen sei: Im einen wie im andern Fall erweist sich oftmals die Möglichkeit, ein durch Bindung an Verpflichtungen seinerzeit hervorgerufenes Preisrisiko zielgerecht in die gewünschte Richtung zu steuern als ausschlaggebend für die Entscheidungsfindung. In diesem Verstand erweitert Hedging mit Futures als ein zusätzliches Durchführungsmittel den Handlungsspielraum des auf die Zukunft bedachten Entscheidungsträgers, weil es ihm eine willkommene Handhabe verschafft, ein aus dem Abschluss einer kontraktlichen Verpflichtung entstandenes unerwünschtes Preisrisiko in einem von ihm persönlich bevorzugten Ausmaß zu mindern. Besteht bei der Vornahme einer Kurssicherung die Endabsicht darin, das Basispreisrisiko des fraglichen Hedge-Postens so gering zu halten, wie es sich überhaupt ermöglichen lässt, so steht und fällt die Durchschlagskraft eines Hedge mit der zutreffenden Schätzung des "hedge ratio" h: der zweckerfüllenden Zahl an einzusetzenden Futures-Kontrakten als Terminmarktanteil eines infrage stehenden Hedge-Postens. Zur Erreichung dieses Zieles ist eine sorgsame und sachkundige Abwägung zahlreicher realwirtschaftlicher Einflussgrößen, zumal eine gründliche, richtige Untersuchung über das gegenwärtige und das in Zukunft zu gewärtigende Preisgefüge, unverzichtbare Voraussetzung. Allein auf diese Weise lassen sich die vom Effektiv- und Terminmarkt ausgehenden Einflüsse ganzheitlich in den Kalkül einbeziehen und im Hinblick auf mögliche Auswirkungen auf Wertänderungen des Hedge-Postens dann auch gezielt steuern. Zuverlässige Planungsdaten werden somit unverzichtbar.

Des Weiteren ist es – insbesondere für Export-abhängige Unternehmungen – als unerlässlich anzusehen, im Vorwege der Einrichtung eines Hedgegeschäftes in jedem Einzelfall nicht nur die Auswirkungen von Zins-, Preis- und sonstigen Wertveränderungen auf den Zielbeitrag des operativen Grundgeschäfts (der "gewöhnlichen Geschäftstätigkeit"), sondern darüber hinaus auch dauerhafte Änderungen der maßgebenden Spotmarkpreise und Kassakurse auf das über alle Gefahrenherde aggregierte Risiko-Umfeld im Ganzen auf planmäßige Weise abzuschätzen und auf dem Boden eines bestimmt gegebenen, wesenhaften Risikoprofils dahingehend angemessen in die Planung mit einzustellen ("Hedging als strategisches Management-Instrument"). Nur auf diese Weise lässt sich durch den zielgerichteten Einsatz risikopolitischer Instrumentarien der Gesamtwert eines Unternehmens durch die Zeiten hindurch nachhaltig steigern und festigen.