Der Beta-Faktor (β) in Theorie und Anlagepraxis

Zur Berechnung des Beta-Faktors (β) von Aktien

Um sich den Beta-Faktor im Zuge der Unterbringung von Geldmitteln in eine ausersehene Vorteilsgelegenheit (Finanzinvestition, z.B. in Aktien) in sachgerechter Weise zunutze zu machen, ist er zuallererst aus seinen engen akademischen Rahmenbedingungen herauszulösen. Der hier vorgestellte methodische Ansatz zu einem Lösungsweg schlägt zu diesem Ende folgendes Verfahren ein: Auf der ersten Vorbereitungsstufe kommt es darauf an, für den historischen Beta-Faktor (β) des in Rede stehenden Wertpapiers einen der Wirklichkeit möglichst nahekommenden Schätzwert zu bestimmen. Das zu seiner statistisch-rechnerischen Erfassung notwendige Datenmaterial wird aus Gründen der Zweckmäßigkeit von den Änderungsraten der vorliegenden Kursgrößen abgelesen, die ihrerseits in Gestalt erfahrener (empirischer) Renditegrößen gefasst werden. Die so bewandten Größen lassen sich leicht aus der Aufeinanderfolge roh erfasster Kursausprägungen einer gewissen vorhergegangen Zeit (Ex-post-Kurse, Kurshistorien) zusammentragen.

Da nun wohlbegründete Anlageentscheidungen im Leben gescheiterweise immer mit gutem Vorbedacht auf die nächste Zukunft zu treffen sind, indes die Zukunft sich bekanntermaßen einer fadengeraden Vorausberechnung beharrlich entzieht, ist auf der nächsten Stufe eine zuverlässige und gehaltvolle Schätzung (Antizipation) aller derjenigen Größen vorzunehmen, die je zuweilen im wirklichen Geschehen auf die Investitionshandlung hinüberwirken. Um solcher Erwägungen willen wird in einem Folgeschritt dazu übergegangen, den durch eine statistische Zeitreihenanalyse gewonnenen ("historischen") Beta-Faktor unter Anwendung verfeinerter Extrapolationsverfahren schlüssig in die Zukunft auszuformen. Eine auf diesem Wege durchgeführte logisch nachvollziehbare Erkundung zum voraussichtlichen Verlauf (Prognose) bereitet fortan den Boden für planvoll durchdachte Handlungsempfehlungen unter Verhältnissen gegebener unsicherheitsbeladener Investitionsentscheidungen. Um bei aller Schwierigkeit des Gegenstandes nicht ganz im Abstrakten steckenzubleiben, sei nun der eben knapp umschriebene Untersuchungsgang anhand eines sprechenden Beispiels des Genaueren erläutert:

Ein Beispiel zur Berechnung des Beta-Faktors aus historischen Kursen:

Es sei für eine betrachtete Aktie der Beta-Faktor auszurechnen. Der Berechnung zugrunde gelegt seien die Kurszahlen der gewesenen letzten 12 Monate ("historisches" Beta). – Zu diesem Zweck richten wir vorbereitend eine Arbeitstabelle gemäß nachstehendem Muster ein (s.u. Arbeitstabelle 1). Diese führt für die in Betracht gezogene Aktie in geordneter Aufeinanderfolge eine Zeitreihe von 13 verwirklichten Monatsschlusskursen vor, wie sie auf Spalte 2 der Tabelle vermerkt sind. Die Kurse mögen einer Zeitspanne entstammen, die sich vom vorjährigen Dezember (erste Zeile unter den beiden Kopfzeilen) bis Dezember des Folgejahres erstreckt (letzte Zeile). Der Aufeinanderfolge der Monatsschlusskurse der Aktie wird in Spalte 3 für den gleichen Zeitraum die Aufeinanderfolge der vorgelegten Monatsschlussstände eines als repräsentativ betrachteten Aktienindex zur Seite gestellt. Aus den einzelnen Kurs- und Indexständen werden nächstdem die entsprechenden Monatsrenditen von Aktie und Index berechnet. Wir erhalten hiernach je 12 Renditegrößen, die in den Spalten 4 und 5 der folgenden Übersichtstafel einander gegenübergestellt wurden. Von Dividendenzahlungen, Bezugsrechtserlösen und sonstigen Erträgnissen, die dem Grundsatz nach mit in die Untersuchung einzubeziehen wären, sei der Einfachheit halber abgesehen. Die in den Kolonnen 6 und 7 der Zusammenstellung unter der Überschrift "Überrendite" eingetragenen Vomhundertsätze ergeben sich aus dem Unterschied der jeweiligen Monatsrenditen zum sicheren Anlagezinssatz. Als Sicherheitszinssatz sei in unserem Beispiel ein Zinssatz von nominal 3 % aufs Jahr (p.a.) berechnet (bzw. bei linearer Verzinsung 0,25 % für den Monat) angenommen.

 

 

 

 

 

 

Arbeitstabelle 1

Nun wird die Überschussrendite der Aktie gleich Y, die Überschussrendite des Index gleich X gesetzt, und daraufhin die Werte für Y² und X² sowie für X * Y ausgerechnet. Die figurierten Zahlenreihen in den einzelnen Spalten der Tafel sind danach noch zusammenzuzählen, wie zum Schluss der folgenden Arbeitstabelle im Zifferergebnis ausgewiesen (der leichteren Übersicht wegen gerundet auf 4 Nachkommastellen).

Arbeitstabelle 2

Eine im fachwissenschaftlichen Schrifttum gebräuchliche, auf die Herleitung des Beta-Faktors β geprägte algebraische Formel lautet wie folgt:

Beta = [(N * ∑ XY) – (∑ Y * ∑ X)] / [(N * ∑ X²) – (∑ X)²]

mit:

N : Zahl der Beobachtungszeiträume,

∑ : Summensymbol, wobei in unserem Rechenbeispiel die unter dem Summenzeichen zusammengefassten Größen allesamt 12 Monate durchlaufen mögen.

Die vorstehende Formel baut auf der Definition von Beta: β = COV_Y,X / σ²_X auf. Sie hat die geschätzte Kovarianz zwischen untersuchter Aktie und dem Index zum Zähler und die geschätzte Varianz des Index zum Nenner.

Werden die Daten, vom Abstrakten auf die Wirklichkeit übertragend, aus der oben gegebenen Tabelle in die Formel eingesetzt, so erhält man im Rechnungsergebnis:

Beta = [(12 * 161,9797) – (29,6567 * 15,7799)] / [(12 * 102,6972) – (15,7799)²] = 1,5    .

Ziehen wir aus diesen Überlegungen die allgemeine Lehre: Der in Untersuchung stehenden Aktie dieses Übungsstücks ist nach der Formel ein ihr eigenes rückblickendes (historisches) Beta von +1,5 beizuzählen. Dieser Zahlenwert ist es, der zugleich den besten Schätzer für den wirklichen, allerdings nicht unmittelbar beobachtbaren Beta-Faktor der Aktie vorstellt. Der in dieser Ziffer zum Ausdruck kommende wirklichkeitstreue (empirische) Gehalt lässt sich mit Worten übersetzt etwa folgendermaßen zusammenfassen: Jede Veränderung der Rendite des Marktindex um einen gewissen Prozentsatz in dieser oder jener Richtung führt im großen Durchschnitt und auf die Dauer eine gleichgerichtete, jedoch überproportionale Renditeänderung der Aktie um das 1,5-fache mit sich ("aggressive stock"). Schlägt die Rendite des Marktindex beispielsweise um einen vollen Prozentpunkt um, kann unter sonst gleichbleibenden Kausalverhältnissen mit vernünftigem Grund von einer gleich ausgerichteten Renditebewegung der Aktie um 1,5 Prozentpunkte ausgegangen werden.

Unserm Schulbeispiel wurde der Anschaulichkeit halber eine Stichprobe von lediglich 12 Vergangenheitsrenditen zugrunde gelegt. Um indes eine zumindest halbwegs zuverlässige Aussage über den "wahren" Wert des einer unmittelbaren Beobachtung allerdings entrückten Beta-Faktors einer in Frage stehenden Kapitalanlage allein aus vergangenen Renditegrößen treffen zu können, wird im gelehrten Schrifttum* die Anleitung gegeben, im Falle von Aktien als Untersuchungsgegenstand mindestens 300 aufeinander folgende Monatsrenditen in die statistische Aufbereitung einzubringen. Zwar stellt in Anbetracht zeitgemäß fortgebildeter, technisch leistungsfähiger Hilfsmittel der Kalkulation eine solche vorauszusetzende Informationsanforderung in unsern Tagen an und für sich kein Hindernis mehr dar; doch mit der empirisch mehr als fragwürdigen Annahme der "intertemporalen Stationarität" entscheidungswichtiger Größen, also der Beständigkeit der Rendite bei den Erwartungen und deren korrespondierendem Beta-Faktor in der Zeit, gibt der vorstehende Ansatz sich ohne Zweifel eine starke Blöße. Denn bei der Bestimmung von β aus historischem Kursmaterial wird ja implizit unterstellt, dass Beta auf die Länge der Zeit konstant bleibt. Blieben sich sämtliche den Beta-Faktor bestimmende Größen von Periode zu Periode tatsächlich gleich, so ließe sich β aus einer hinreichend großen Zahl vergangener Kursdaten mit trefflicher Aussagekraft abschätzen.**

[* Vgl. Jobson, J. D., Korkie, B.: "Estimation for Markowitz Efficient Portfolios.", in: Journal of the American Statistical Association 75, no. 371.]

[** Maßgeblichkeit vergangener Renditen für zukünftige Renditeverläufe und stochastische Unabhängigkeit periodischer Renditeverteilungen ist bei allem dem als zusätzliche Annahme zu unterstellen.]

Zur Beurteilung der Glaubwürdigkeit und Zuverlässigkeit (der "Signifikanz") berechneter Parameter wird häufig auf das statistische Maß des Standardfehlers zurückgegriffen: Unter den vorhin angeführten Voraussetzungen sagt das Maß des Standardfehlers aus, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 2/3 der tatsächliche Beta-Faktor in einem Intervall von [β + 1 Standardfehler | β – 1 Standardfehler] gelegen ist.

Sowie nun die einzelnen Beta-Faktoren der bestehenden Aktiengattungen eines in eigener Weise zusammengesetzten Wertpapierportefeuilles richtig ausgemittelt worden sind, ist es eine Sache einfachen mathematischen Kalküls, aus den nun rechnerisch bekannten Beta-Faktoren der Aktien auch das zugehörige Portefeuille-Beta β_P zu errechnen: Das Portefeuille-Beta β_P ergibt sich kurz und schlicht aus der mit den Portefeuille-Anteilen gewichteten Summe der einzelnen Wertpapier-Betas:

Portefeuille-Beta β_p = ∑ x_i * β_{i   ,}

d.h., bei i = n  Aktien*:   β_P = X₁ * β₁ + X₂ * β₂ + ... + X_n * β_n   ,

mit x_i = in Prozenten ausgedrückter Wertanteil des Portfolios (in dezimaler Schreibweise), der auf die Aktie i fällt, wobei sich die Gesamtheit der Anteile stets auf 1 summiert, also: ∑ x_i = 1   .

[* Hinweis: Die Additivitätseigenschaft von Beta folgt aus der Lineraritätseigenschaft der Kovarianz.]

Regressionsanalyse

Zur quantitativen Ermittlung historischer Betawerte von Wertpapieren bedient man sich nach bekannten statistischen Grundsätzen häufig und gern der linearen Einfachregression ("Methode der kleinsten quadratischen Abweichungen"). Bildlich veranschaulicht erhält man aus dem Grundstock gegebener Renditesequenzen (Tage, Wochen, Monate usw.) einen Standard-Schätzwert für den historischen β-Faktor als Steigung (tan α) der linearen Regressionsgeraden (Ausgleichsgeraden; die sog. Ex-post-"characteristic line"; Marktmodell*) durch die Punktewolke der Renditepaare, indem in einer Zeichnung eines Streudiagramms die Überschussrenditen einer bestimmten Aktie i bzw. eines ausgewählten Aktien-Portefeuilles i_p an der Ordinate gegen die Überschussrendite des Marktindex M an der Abszisse abgetragen ("regressiert") werden (siehe nachfolgende Abbildung). Die Überschussrendite sei definiert als die rechnerische Differenz zwischen der Rendite der Aktie i bzw. des Marktindex M und dem Sicherheitszinssatz r_f während eines bestimmten Betrachtungszeitraums, also derjenige Renditebetrag, der über die Rendite einer nominal risikolosen Anlage hinausgeht bzw. sie unterschreitet.

[* William F. Sharpe: "A Simplified Model for Portfolio Analysis", Management of Science, 1963, S.277 ff.]

Abb.: Beispiel: Regressionsmodell

Förmlich technisch gehorcht die Kleinst-Quadrate-Regressionsgerade der Gleichung:

r_i – r_f = α_i + (R_m – r_f) * β_i + ε_i    ;

mit: r_i = Rendite des Wertpapiers i, r_f = Sicherheitszinssatz, α_i = Absolutglied des Wertpapiers i, R_m = Rendite des Marktindex, β_i = Regressionskoeffizient Beta des Wertpapiers i, und ε_i = Störterm (gr. kl. Epsilon). Wie leicht zu durchschauen, gibt die Regressionsanalyse einen tiefergehenden Aufschluss über den Verlauf der funktionellen Abhängigkeit der Überrenditen der Aktie i bei alternativen Überrenditen des Marktindex M.

Der übergelagerte Störterm ε_i (Residuum) misst den Abstand der Punkte der Renditepaare von der Regressionsgeraden (nach obiger Abbildung in vertikaler Richtung). Jener Renditeteil lässt sich damit nicht linear durch den Marktindex erklären. Für den Störterm ε_i wird vorausgesetzt, er sei normalverteilt mit der Standardabweichung σ, habe einen Erwartungswert von null und sei zu allen anderen Renditen und Störtermen unkorreliert, d. h. Cov (ε_i, ε_j) = 0, mit i ≠ j. Dies impliziert, dass Renditeänderungen des Wertpapiers i nur über den Marktindex M erklärt werden. Die genaue Lage der Ausgleichsgeraden wird förmlich in der Weise festgelegt, dass die Summe der Werte der quadrierten Störterme (∑ε_i²) minimal wird.

Der Schätzwert α_i lässt sich hierbei als durchschnittliche "unsystematische" Überrendite des Wertpapiers i ausdeuten. Dieser bildet den Wert des Ordinatenabschnitts mit der Regressionsgeraden. Für den Koeffizienten α_i = (∑ Y / N) – (β_i * ∑ X / N) erhält man: (29,6567 / 12) – (1,5 * 15,7799 / 12) = + 0,498 (gerundet). Hinweis: Wenn statt mit Überrenditen mit den ursprünglichen Renditen gerechnet wird, so hat dies merklich verzerrende Auswirkungen auf den erwartungstreuen Schätzwert für α_i, während β_i hierdurch kaum beeinflusst wird.

Ließe sich die Höhe der Überrenditen der Aktie i stets mit völliger Treue durch die jeweiligen Ausprägungen der Überrenditen des Marktindex erklären, so lägen alle durch Punkte im Diagramm dargestellten Renditepaare passgenau auf der Regressionsgeraden (in diesem Falle wäre ε_i jedes Mal gleich null). Da nun ein durch und durch vollkommener, gleichbleibend gradliniger (linearer) Zusammenhang der Renditen im wirklichen Geschehen kaum je anzutreffen sein wird, so werden die Renditepaare bald mehr bald weniger weit um die Ausgleichsgerade herum streuen.

Zur Gewinnung von Aussagen über die Güte des durch die Kleinst-Quadrate-Regressionsgerade beschriebenen linearen Zusammenhangs verhilft das in der Statistik allgebräuchliche Bestimmtheitsmaß R² (also der ins Quadrat erhobene Korrelationskoeffizient k_i,m, d.h. R² = k²_i,m), und nebstdem auch die Varianz des Störterms ε_i. Das Erstgenannte, das Bestimmtheitsmaß R², misst den Anteil der durch das Modell erklärten Renditeänderungen der Aktie i, der hierbei auf Änderungen der Renditen des Marktindex M zurückzuführen ist. R² hat einen Definitionsbereich von 0 bis +1, mit Einschluss der Letzten. Je weiter R² sich dem Wert +1 annähert, desto näher rücken die beobachteten Renditepaare im Durchschnitt an die Regressionsgerade heran, und umgekehrt.

Das Bestimmtheitsmaß erhält man aus der gebräuchlichen Formel R² = β² * (σ²_x/σ²_y). Die Zahlen aus unserm Illustrationsfall oben eingesetzt ergibt: R² = 2,25 * (7,45/25,11) = 0,668  (gerundet auf 3 Stellen rechts vom Dezimalzeichen). Ungefähr 66,8 % der Schwankungen der Überrenditen der Aktie kann man demnach durch Schwankungen der Überrenditen des als repräsentativ betrachteten Index erklären.

Grenzen für die Anwendung von β

Soll der mithilfe einer Regressionsanalyse ausgemittelte Stand des Beta-Faktors auch im praktischen Gebrauch Eingang in die Anlageentscheidung finden, so wird man sich klar vor Augen halten müssen, dass hierbei methodisch stets von der Annahme einer im Ablauf der Zeit gleichen, unveränderlichen Steigung der "characteristic line" (Stationaritätsannahme) und damit implizit auch von stationären Kausalverhältnissen bis in alle Ewigkeit ausgegangen wird. Solange die äußeren Gegebenheiten bei der Kausalität der Renditen zumindest in ihren Begleiterumständen aufrecht erhalten bleiben, mag diese Vorgehensweise vertretbar sein. Verbesserte, weil wirklichkeitsnähere Ergebnisse verspricht indes die Anwendung von Adjustierungsverfahren für die auf empirischen Daten beruhende Schätzwerte (insb. "mean-reverting"-Verfahren und solche, die für die Gegenwart bedeutsame bzw. kurzfristig zu erwartende Entwicklungen in angemessener Weise berücksichtigen, wie etwa sog. "multiple Regressionsansätze"). Eine solche Feinanpassung zum Zwecke der Steigerung der Zuverlässigkeit der Prognose künftiger Beta-Werte mittels eines zweckdienlichen Verfahrens wäre wahlweise in einem sich an die Ermittlung des historischen Beta-Faktors unmittelbar anschließenden Schritt vorzunehmen.

Es verdient zum Schluss noch ausdrücklich ins Gedächtnis gerufen zu werden, dass es geboten erscheint, bei sämtlichen der mit statistischen Verfahren ermittelten, auf Vergangenheitsdaten gründenden Kennzahlen äußerte kritische Zurückhaltung im Hinblick auf ihre praktische Nutzanwendung zur Voraussicht der künftigen Entwicklung zu üben. Keine Kennzahl oder Formel, auch wenn sie noch so gefällig scheint, vermag die Zukunft zu entschleiern. Dem Praktiker werden mit allen Projektionen von Zahlenwerten auf die Zukunft bestenfalls Näherungsformeln an die Hand gegeben, die sich nützlich erweisen können bei der Entscheidungsfindung über die vorteilhafteste Unterbringung von Kapital; dies zumal alle wirklichen Investitionsentscheidungen vorausgehende Prognosen, die sich auf historisch-statistische Kennzahlen stützen, wie es der Faktor Beta (β) eine ist, schwerlich den im Sinne der Theorie für notwendig befundenen strengen Anwendungsvoraussetzungen und Messbarkeitsanforderungen zu genügen die Kraft haben werden.