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Es sei die historische Volatilität der ABCD-Aktie auszurechnen. Hierzu stellen wir musterhaft die Veränderungsreihe der im soeben abgelaufenen Jahr (mit Einschluss des vorjährigen Dezembers) an der Börse festgestellten Monatsschlusskurse auf:*
[* Ebenso gut könnten Tageskurse, Wochenkurse, Vierteljahrskurse oder auch die Kurse jeder beliebigen Zeitspanne der Aufstellung zugrunde gelegt werden.]
a.) Berechnung der Monatsrenditen der ABCD-Aktie: 1.Schritt: Es sei angenommen, nach Erhebung der Daten liege für die ABCD-Aktie eine Kurssequenz von Monatsschlusskursen gemäß der vorstehenden Tabelle als gegeben vor. Im ersten Schritt sollen nun die Periodenrenditen der Aktie für die einzelnen Monate (in unserem Beispielsfall also die der Monate Januar bis Dezember) berechnet werden. Dazu wird der Schlusskurs der jeweiligen Periode durch den Schlusskurs der Vorperiode dividiert (vgl. in der nachstehenden Tabelle die mittlere Zeile "1 + Rendite"; engl. "value relative"). Nach Abzug von 1 und Multiplikation mit 100 erhalten wir im Ergebnis die folgenden 12 Monatsrenditen (in Prozenten), wie in der letzten Zeile der nachstehenden Tabelle aufgezeigt:
2.Schritt: Um bei der Ausmittlung der Volatilität nicht gegen entscheidungstheoretische Plausibilitätsannahmen zu verstoßen, wird im Schrifttum gefordert, dass dem Kapitalanleger eine sog. "quadratische Bernoulli-Nutzenfunktion" zuzuführen sei und/oder dass die Renditen des Investitionsobjekts statistisch normalverteilt seien. Da logarithmierte (stetige) Aktienrenditen im Gegensatz zu einfachen (diskreten) Renditen ungeschwächt für normalverteilt gelten*, werden in diesem Schritt die Kursverhältnisse aus der Zeile "1 + Rendite" der obigen Tabelle mit dem natürlichen Logarithmus** logarithmiert. Als Ergebnis (dann wiederum multipliziert mit 100) erhalten wir eine Zeitreihe, wie sie der letzten Zeile der folgenden erweiterten Arbeitstabelle zu entnehmen ist ("log. Rend.", in Prozenten, gerundet auf zwei Nachkommastellen).
[* Die Annahme einer logarithmierten Normalverteilung von Aktienrenditen beachtet die Restriktion, dass der Aktionär niemals mehr Geld verlieren kann als die Geldsumme ausmacht, die er auf den Kauf seiner Aktien ausgelegt hat. Als eine für den Finanzpraktiker wie den Theoretiker gleichermaßen sich günstig erweisende Eigenschaft logarithmierter Renditen tritt hinzu, dass sie nicht nur den wirklichen Verhältnissen auf den Sekundärmärkten recht nahe kommen, sondern dass unter ihrer Beihilfe, zumal bei Grenzwertuntersuchungen, sich damit in methodisch schlüssiger, folgerichtiger Weise rechnen lässt.] [** Der natürliche Logarithmus hat die Konstante e = 2,71828... zur Basis, dem zugestrebten Grenzwert der Folge (1+1/n) n, mit n → ∞.]
3. Schritt: Nachfolgend wird der arithmetische Durchschnitt (Mittelwert) μ der vorliegenden 12 logarithmierten Monatsrenditen ausgerechnet. Das arithmetische Mittel einer gegebenen Anzahl beobachteter Vergangenheitsrenditen r einer Investition ergibt sich allgemein nach der Formel: μ = (1/n) · Σ rt , mit n : Anzahl der der Rechnung zugrunde liegenden Renditen, rt : Rendite der Betrachtungsperiode t (mit t = 1, ..., n) , und Σ : Summensymbol (gr. Sigma, nach dem achtzehnten Buchstaben des griechischen Alphabets). Die modifizierte Formel zur Errechnung des logarithmierten Mittelwerts (μln) lautet demgemäß: μln = (1/n) · [Σ ln(1 + rt)] . Die Division der Summe der logarithmierten Monatsrenditen (gerundet, in Prozenten) durch 12 liefert in unserem Beispiel also den gesuchten Mittelwert μln: μln = (7,70 + 4,88 – 1,51 + 4,21 + 1,19 – 6,94 – 4,08 + 3,44 – 3,25 – 3,67 + 4,88 + 6,77) / 12 = 1,135. Ergebnis: Die durchschnittliche logarithmische Monatsrendite der ABCD-Aktie beläuft sich auf 1,135 %.
b.) Berechnung der Varianz σ2 und der Standardabweichung σ der logarithmierten Renditen: 1. Schritt: Um quantitative Aussagen über das (für sich allein betrachtete) Risiko der ABCD-Aktie treffen zu können, ist als Nächstes ihre Varianz zu berechnen. Die Varianz σ2 ist definiert als die Summe aus den ins Quadrat erhobenen Abweichungen der Einzelausprägungen vom Mittelwert geteilt durch die Zahl der Einzelausprägungen. Zur Ausmittlung der Varianz einer Grundgesamtheit von Werten bedient man sich also allgemein der folgenden Formel: σ2 = (1/n) · [Σ (rt – μ)2] , wobei unter der Summe die Einzelausprägungen der Grundgesamtheit laufen. Wird aus einer Stichprobe ein Schätzwert für die Varianz einer Grundgesamtheit gesucht, so führt die Statistik uns vor, dass zum Ausgleich von Stichprobenschätzfehlern der Nenner, hier: n, um 1 zu vermindern ist, um eine weitgehend erwartungstreue ("unbiased") Schätzung zu erreichen. Eine solche Anpassung ist insbesondere immer dann vonnöten, wenn – wie hier am Beispiel der ABCD-Aktie demonstriert – nur eine mäßige Zahl von Beobachtungswerten vorliegt. Wir erhalten demgemäß: σ2 = [1/(n – 1)] · [Σ (rt – μ)2] . Die Varianz wird hierbei bestimmt durch Anwendung des oben errechneten logarithmierten Mittelwertes von μln = 1,135, indem dieser Wert von den einzelnen logarithmierten Monatsrenditen in Abzug gebracht und daraufhin quadriert und aufsummiert wird. Anschließend wird noch, wie erfordert, durch (n–1) geteilt. Unsere so modifizierte Formel lautet demgemäß: σ2 = [1/(n – 1)] · [Σ (ln (1 + rt) – μln)2] . Die Beispielswerte eingesetzt ergibt die folgende Varianz: σ2 = [(7,70 – 1,135)2 + (4,88 – 1,135)2 + (–1,51 – 1,135)2 + (4,21 – 1,135)2 + (1,19 – 1,135)2 + (–6,94 – 1,135)2 + (–4,08 – 1,135)2 + (3,44 – 1,135)2 + (–3,25 – 1,135)2 + (–3,67 – 1,135)2 + (4,88 – 1,135)2 + (6,77 – 1,135)2] / 11 = 259,39/11 = 23,58.
2. Schritt: Da die gesuchte historische Volatilität eines Investitionsobjekts in der Standardabweichung σ gemessen wird, ist zu ihrer Kalkulation als Nächstes die positive Quadratwurzel aus der oben berechneten Varianz σ2 zu ziehen: σ = [(1/(n – 1)) · [Σ (ln (1 + rt) – μ)2]]½ , bzw. σ = √23,58 = 4,856 %. Die Standardabweichung (σ) der Monatsrenditen beträgt demnach gleich 4,856 %. Man beachte, dass die Standardabweichung σ im Gegensatz zur Varianz σ2 inhaltlich vollkommen kommensurabel ist mit ihren Ursprungswerten. Sie hat insbesondere die gleiche Dimension wie die zu ihrer Aufsuchung verwendeten Zahlengrößen, d.i. in unserem Rechenbeispiel also die Dimension Prozent (%). Hinweis: Die Berechnung der Standardabweichung (σ) der logarithmierten Renditen einer Aktie kann alternativ zu Schritt 1 und 2 auch nach der Formel σ = [∑rln2 / (n–1) – [(∑rln)2 / n · (n–1)]]1/2 erfolgen, wobei rln die logarithmierten Renditen der Aktie bezeichnet.
3. Schritt: Aus dem Wunsch, die aus mehreren verschiedenen Vermögensanlagen erwirtschafteten Renditen, die der Zahl nach in ihrer Dauer überwiegend auseinandergehen werden, so gut wie nur möglich vergleichbar zu machen, bedient man sich in der Wirtschaftspraxis aus Gründen der Zweckmäßigkeit der Annualisierung der Gewinnraten. So ist es beispielsweise bei den Kreditgeschäften Sitte, nach Prozenten per annum zu rechnen, ein Verfahren, das bei uns auch unter der Bezeichnung "effektiver Jahreszins" ("annual rate of return") bekannt ist. Ein Ähnliches greift durch bei der Vergleichung von statistischen Standardabweichungen. Hierbei ergibt die auf ein Jahr gewendete ("hochgerechnete") Standardabweichung (= Jahresvolatilität) in ihrer Ausdrucksform das gesuchte Risikomaß, das unter der Bezeichnung Volatilität eines Investitionsobjekts endlich Eingang in die Finanzierungslehre gefunden hat. Das für die Berechnung der historischen Volatilität der in Untersuchung gezogenen Aktie nötige Kursmaterial ist wieder aus der Vergangenheit hergeholt, nämlich von einer planmäßigen Beobachtung des Kurses durch eine gewisse Spanne Zeit. Die im Vorausgehenden angestellte Rechnungsoperation fußt beispielsweise auf einer monatlichen Kursfeststellung. Ebenso wohl ist es angängig, davon abweichende fertig gegebene Zeitintervalle als Bezugsgrößen heranzuziehen. Da auf den Märkten die weitaus meisten Finanztitel heutzutage börsentäglich umgesetzt werden, macht die Volatilitätsberechnung demgemäß aus naheliegenden Gründen in aller Regel Gebrauch von täglichen, von Schlusskursen stammenden Kursänderungen, die sie als Urmaterial in ihre Rechnung übernimmt. Gleichviel indes, ob der Rechnung ursprünglich Tages-, Wochen-, Monats- oder Quartalsschlusskurse und entsprechende Renditen zugrunde liegen, lassen diese sich mit Leichtigkeit in die intendierte Jahresvolatilität umgestalten. Dazu wird schlicht und einfach die vorliegende Standardabweichung σ malgenommen mit der Quadratwurzel aus der Zahl des sich in einem Jahr wiederholenden Referenzzeitraums. Der Ausdruck für die annualisierte Standardabweichung (= Volatilität) lässt sich somit auf eine klare Formel bringen:
[Anmerkung: Die Verwendung der Volatilität als Risikomaß einer Kapitalanlage impliziert, dass das Risiko einer Investition mit sich entfernendem Anlagehorizont nicht linear (degressiv) zunimmt.] Ist die Standardabweichung, wie hier im Fallbeispiel, die Ergebnisgröße monatlicher Renditen, so hat demgemäß die Multiplikation der (monatlichen) Standardabweichung σm mit der Wurzel aus 12 zu erfolgen, d.h. σm x √12 = gesuchte historische Volatilität σann der ABCD-Aktie. Die oben gegebenen Werte eingesetzt ergibt:
(Gerundet bis auf 4 Stellen hinter dem Komma.) Die historische Volatilität lässt sich in vortrefflicher Weise als Vergleichsmaßstab für die Schwankungsbreite von kurshabenden Vermögenswerten verwenden. So fällt die Volatilität der ABCD-Aktie im Zusammenhalt mit manch anderen Aktien recht dürftig aus. Aktien als Anlageklasse ("asset class") genommen haben für gewöhnlich Jahresvolatilitäten, die im langfristigen Durchschnitt ungefähr zwischen 15 und 60% gelegen sind. Sogenannte Blue Chips, also Aktien ersten Ranges, so wie die, die z.B. im DAX® oder im Dow Jones (DJIA) enthalten sind, weisen je nach Aktiengattung Volatilitäten zwischen, roh gerechnet, 20 und 40% vor. Die hier betrachtete ABCD-Aktie lässt sich ihrer mäßigen Volatilität wegen der Klasse der "Defensive Issue" (Anlagepapiere) zuordnen. Aktien der vorgenannten Sorte zeigen sich überwiegend unbeirrt vom Wechsel der Konjunkturzyklen und gehören meist entweder zu den altbegründeten, krisenfesten Unternehmungen der Nahrungsmittelbranche oder zu ebensolchen gefestigten Gesellschaften aus dem Zweige der Versorgungsunternehmungen (zu den sog. "utilities"). Abschließende Anmerkungen: Da das Kalenderjahr aufgrund von Handelspausen an Wochenenden und Feiertagen je nach Land lediglich über annähernd 250 Börsenhandelstage verfügt und empirische Befunde überdies darauf hindeuten, dass eher Börsenhandelstage denn Kalendertage für eine angemessene Bestimmung der Volatilität einer Aktie maßgeblich sind, multipliziert man zur Annualisierung der Standardabweichung im Falle vorliegender Tagesrenditen mit der Wurzel aus 250, statt aus 365, d. h. σann = σt · √250. Um der Steigerung des Aussagegehaltes bei der Ausmittlung der Aktienkursvolatilität willen empfiehlt es sich für den Fall von Tagesrenditen, den Rechnungsgrößen ungefähr die letzten 90 bis 180 Handelstage zugrunde zu legen, bei Monatsrenditen dagegen mindestens 36 Monatsrenditen. Zwar steigt die Genauigkeit einer Schätzung der Volatilität grundsätzlich mit zunehmender Zahl der in die Berechnung einfließenden Renditegrößen; da indessen der Belauf der Volatilität sich erfahrungsgemäß auf die Länge der Zeit ändert*, und älteren Renditen oftmals wenig oder gar keine Aussagekraft für heute zu treffende Prognosen und Anlageentscheidungen beschieden ist, kann die Berücksichtigung von mehr als etwa 180 Renditen mitunter sogar kontraproduktiv sein. [* Eine brauchbare Nutzung der historischen Volatilität ("realized volatility") zur Schätzung der zukünftigen Volatilität ("future volatility") impliziert, dass die historische Volatilität auch in den darauf folgenden Zeitstufen konstant bleibt. Neuestens versuchen sog. (G)ARCH-Modelle, die in Wahrheit auftretenden zeitlichen Änderungen der Volatilitäten mit verfeinerten mathematisch-statistischen Mitteln in den Griff zu bekommen. GARCH ist die Abkürzung von "Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticy".] Wenngleich sich auch solche Renditeausprägungen, die einkalkulierte Dividenden- und Bezugsrechtserlöse umfassen, auf einfache Weise mit in die Bestimmformel der Volatilität für eine Aktie einstellen ließen, bleiben Renditen dieser Färbung in der wahrhaftigen Rechnung zumeist außer Ansatz. Eine solche methodische Vorgangsweise ist neben anderem zurückzuführen auf den Umstand einer von Fall zu Fall ungleichen steuerlichen Handhabung von Ausschüttungserträgen aus dem Aktienvermögen in den Empfängerkreis der Aktionäre. Für andere häufig genutzte Zeitintervalle gilt entsprechend: σann = σw · √52 für Wochenrenditen, und σann = σq · √4 für Quartalsrenditen. Zu einer genauer bestimmten Ausmittlung der Volatilität wird eine Spanne Zeit gewisser Länge herangezogen, die sich für den vorgesehenen Zweck am meisten empfiehlt. Im obigen Beispiel etwa wurde die Volatilität aus den Monatsrenditen durch ein ganzes Jahr berechnet. Der Ermittlung der Volatilität können grundsätzlich beliebige Zeitintervalle zugrunde gelegt werden. Es können dafür Tages-, Wochen-, Monats-, Vierteljahres- oder Jahresrenditen gleichermaßen zum Einsatz kommen. Liegen der Rechnung beispielshalber Tagesrenditen der Schlusskurse der letzten 30 Handelstage zugrunde, die auf das Jahr hochgerechnet wurden, so spricht man von einer 30-Tage-Volatilität (p.a). Hier wie auch im Falle einer 250-Tage-Volatilität p.a. – beide sind in der Wirtschaftspresse besonders häufig anzutreffen – bedarf es einer Annualisierung nicht mehr, da sie der gesuchten Kennzahl "historische Volatilität, σann" bereits entsprechen. Um bei der vergleichenden Gegenüberstellung von Aktien, die sich sowohl rücksichtlich ihres Risikos als auch ihrer Renditeerwartungen unterschiedlich zeigen, Aussagen mit Anspruch auf erhöhte Treffsicherheit zu machen, greift man neben anderen häufig auf ein relativiertes Streuungsmaß zurück: den sog. Variationskoeffizienten v. Der Variationskoeffizient v ist definiert als das Verhältnis von Standardabweichung σ zu Erwartungswert der Rendite μ, d. h. v = σ/μ. Es beziffert damit das übernommene Risiko für die Renditeeinheit. Die hier untersuchte ABCD-Aktie hat demnach einen auf einen Monat bezogenen Variationskoeffizienten von 4,856 / 1,135 = 4,278.* [* Nicht verkannt werden darf, dass v, hierin ungleich seiner Bestimmungsgrößen, als dimensionslos zu betrachten ist.] Der sachliche Nachteil indes, der dem Variationskoeffizienten v aus sich anhaftet, beruht auf seiner empfindlich ausgeprägten Reagibilität, spürbar besonders dann, wenn er sich auf verwirklichte Tagesrenditen oder doch auf Renditerealisationen von nur sehr geringer Höhe stützt. Das macht ihn in letzter Linie für eine große Anzahl von praktischen Zwecke bloß in eng begrenztem Maße tauglich. Nächst dem Ansatz der "historischen Volatilität" steht ein zweiter Ansatz aufrecht, welcher der künftigen Volatilität gerecht zu werden sucht: die sog. "implizite Volatilität" ("implied volatility", "implicit volatility"). Diese lässt sich auf der Grundlage eines Optionspreismodells, wie es etwa unter der Bezeichnung "Black-Scholes-Merton-Modell" bekannt ist, logisch erschließen, wenn implizit davon auszugehen ist, dass die fragliche Option am Markt eine sachgerechte und angemessene ("faire") Bewertung erfährt. In diesem Fall gibt sie die allgemeine Markteinschätzung der voraussichtlichen (als konstant angenommenen) Volatilität durch die Laufzeit der Option wieder. Man erhält die Kennzahl der impliziten Volatilität (kurz: IV), falls existent, aus dem im Handel hervorgebrachten Optionspreis des untersuchten Finanzinstruments, indem dieser, neben den anderen bekannten Größen*, als Preisziffer Eingang in die Optionspreisformel finden. Die gesuchte implizite Volatilität ist hierbei definiert als jene Volatilität σ, bei der sich der theoretische Optionspreis aus der Formel dem tatsächlichen Marktpreis der untersuchten Option (Optionsprämie) gleichstellt. [* Diese Größen ("Parameter") umfassen 1.) den präsenten Preis des Basisgegenstandes, 2.) den Ausübungspreis, 3.) die Restlaufzeit, 4.) den Marktzinsfuß für sichere Geldanlagen, berechnet auf die Laufzeit und 5.) die während der Laufdauer aus dem Basisobjekt verdienten Erträgnisse (z.B. Dividenden) .]
"Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen,
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