Zur Berechnung des Beta-Faktors (β) von Aktien

Um den Beta-Faktor bei Gelegenheit einer Investitionshandlung auch im praktischen Sinn nutzbar zu machen, ist er zuerst aus seinem engen akademischen Modellbezug zu lösen. Der methodische Ansatz einer Lösungsidee schlägt zu diesem Zweck den folgenden Gang ein: In einem ersten Schritt geht es um die möglichst präzise Bestimmung eines wirklichkeitstreuen Schätzwertes für den historischen Beta-Faktor (β) des infrage stehenden Wertpapiers. Das zur statistischen Erfassung notwendige Datenmaterial liefern in diesem Abschnitt fast immer relative Kursänderungsraten in Gestalt empirischer Renditegrößen. Letztere lassen sich leicht aus einer vorliegenden Sequenz von Kurshistorien (Ex-post-Kursen) zusammentragen. Da nun vernunftgemäße praktische Anlageentscheidungen immer mit Bedacht auf die Zukunft zu treffen sind, und die Zukunft sich bekanntermaßen einer exakten Vorausberechnung beharrlich entzieht, ist auf der nächsten Stufe eine verlässliche und gehaltvolle Schätzung (Antizipation) aller entscheidungsrelevanten Größen vorzunehmen. Dazu ist in einem Folgeschritt der durch statistische Zeitreihenanalyse gewonnene (historische) Beta-Faktor unter Anwendung verfeinerter Extrapolationsmethoden in die Zukunft schlüssig auszuformen. Eine auf diesem Wege erzielte logisch begründete Prognose bildet fortan die Grundlage für rationale Handlungsempfehlungen in Situationen unsicherheitsbeladener Investitionsentscheidungen. Der im Vorausgehenden bloß abstrakt umschriebene Vorgang sei anhand eines einfachen Illustrationsbeispiels des Genaueren erläutert.

Beispiel zur Berechnung des Beta-Faktors aus historischem Kursmaterial:

Es sei der historische Beta-Faktor einer Aktie auszurechnen. Zu diesem Zweck stellen wir vorbereitend die nachfolgende Arbeitstabelle auf. Diese führt für die hier in Untersuchung gezogene Aktie eine Zeitreihe von 13 realisierten Monatsschlusskursen (sagen wir, von Dezember bis Dezember des Folgejahres) vor, welche der Spalte 2 der Tabelle zu entnehmen sind. Der Aufeinanderfolge der einzelnen Monatsschlusskurse der Aktie wurde in Spalte 3 die Aufeinanderfolge der Monatsschlussstände eines als repräsentativ betrachteten Aktienindex zur Seite gestellt. Aus den Kurs- und Indexständen werden als Nächstes die entsprechenden Monatsrenditen von Aktie und Index berechnet. Wir erhalten sonach jeweils 12 Renditegrößen, die in den Spalten 4 bzw. 5 der Arbeitstabelle einander gegenübergestellt werden. Von Dividendenzahlungen, Bezugsrechtserlösen und sonstigen Erträgen, die prinzipiell mit einzubeziehen wären, sei der Einfachheit halber abgesehen. Die in den Kolonnen 6 und 7 der Tabelle unter der Überschrift "Überschussrendite" eingetragenen Prozentsätze ergeben sich aus der Differenz der jeweiligen Monatsrenditen zum sicheren Anlagezinssatz. Als Sicherheitszinssatz sei in unserem Beispiel ein Zinsfuß von nominal 3 % aufs Jahr (p.a.) berechnet (bzw. 0,25 % pro Monat) angenommen.

Arbeitstabelle 1

Nun wird die Überschussrendite der Aktie gleich Y, die Überschussrendite des Index gleich X gesetzt, und daraufhin die Werte für Y² und X² sowie für X * Y ausgerechnet. Die in den einzelnen Tableau-Spalten figurierten Zahlenreihen sind hernach noch zusammenzuaddieren, wie die letzte Zeile der folgenden Arbeitstabelle im Resultat ausweist (der leichteren Übersicht wegen gerundet auf 4 Nachkommastellen).

Arbeitstabelle 2

Eine gebräuchliche auf die Herleitung des Beta-Faktors β geprägte algebraische Formel lautet:

Beta = [(N * ∑ XY) – (∑ Y * ∑ X)] / [(N * ∑ X²) – (∑ X)²]

mit:

N : Anzahl der Beobachtungsperioden,

∑ : Summensymbol, wobei in unserem Beispiel die unter dem Summenzeichen stehenden Größen alle 12 Monate durchlaufen mögen.

Die vorstehende Formel basiert auf der Definition von Beta β = COV_Y,X / σ²_X. Sie hat die geschätzte Kovarianz zwischen untersuchter Aktie und dem Index zum Zähler und die geschätzte Varianz des Index zum Nenner.

Von der abstrakten Formel ins Praktische übertragen und die Daten aus obiger Tabelle in die Formel eingesetzt, so erhält man in Anwendung derselben:

Beta = [(12 * 161,9797) – (29,6567 * 15,7799)] / [(12 * 102,6972) – (15,7799)²] = 1,5    .

Schlussergebnis: Der hier in Untersuchung stehenden Aktie ist nach der Formel ein individuelles historisches Beta von +1,5 beizuzählen. Dieser Zahlenwert stellt den besten Schätzer für den wirklichen, aber nicht direkt beobachtbaren Beta-Faktor der Aktie dar. Der in dieser Ziffer zum Ausdruck kommende empirische Gehalt lässt sich mit Worten übersetzt etwa folgendermaßen zusammenfassen: Jede Renditeänderung des Marktindex um einen gewissen Prozentsatz in dieser oder jener Richtung führt auf die Dauer und im großen Durchschnitt eine gleichgerichtete, jedoch überproportionale Renditeänderung der Aktie um das 1,5-fache mit sich ("aggressive stock"). Variiert die Rendite des Marktindex beispielsweise um einen vollen Prozentpunkt, kann unter sonst konstanten Kausalverhältnissen im großen Ganzen von einer gleich ausgerichteten Renditebewegung der Aktie um 1,5 Prozentpunkte ausgegangen werden.

Unsrem tabellarischen Beispiel wurde der Anschaulichkeit halber eine Stichprobe von lediglich 12 Vergangenheitsrenditen zugrunde gelegt. Um indes eine zumindest halbwegs verlässliche Aussage über den "wahren" Wert des einer direkten Beobachtung allerdings entrückten Beta-Faktors einer in Diskussion stehenden Kapitalanlage allein aus vergangenen Renditegrößen treffen zu können, wird im Schrifttum die Anleitung gegeben*, im Falle von Aktien als Untersuchungsobjekt mindestens 300 aufeinander folgende Monatsrenditen in die statistische Aufbereitung einzubringen. Zwar stellt in Anbetracht moderner leistungsfähiger Hilfsmittel der Kalkulation eine solche vorauszusetzende Informationsanforderung in unseren Tagen kein prinzipielles Hindernis mehr dar; doch mit der empirisch mehr als fragwürdigen Annahme der intertemporalen "Stationarität" entscheidungsrelevanter Größen, also der Stabilität der Renditeerwartungen und deren korrespondierendem Beta-Faktor in der Zeit, gibt der vorstehende Ansatz sich ohne Zweifel eine starke Blöße. Denn bei der Bestimmung von β aus historischem Kursmaterial wird ja implizit unterstellt, dass Beta auf die Länge der Zeit konstant bleibt. Blieben sämtliche den Beta-Faktor bestimmende Größen tatsächlich von Periode zu Periode konstant, so ließe β sich aus einer hinreichend großen Zahl vergangener Kursdaten mit trefflicher Aussagekraft abschätzen.**

[* Vgl. Jobson, J. D., Korkie, B.: "Estimation for Markowitz Efficient Portfolios.", in: Journal of the American Statistical Association 75, no. 371.]

[** Maßgeblichkeit vergangener Renditen für zukünftige Renditeverläufe und stochastische Unabhängigkeit der periodischen Renditeverteilungen ist hierbei überdies als zusätzliche Annahme zu unterstellen.]

Zur Beurteilung der Verlässlichkeit (der "Signifikanz") berechneter Parameter wird häufig auf das statistische Maß des Standardfehlers zurückgegriffen: Unter den eben angeführten Voraussetzungen sagt das Maß des Standardfehlers aus, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 2/3 der tatsächliche Beta-Faktor in einem Intervall von [β + 1 Standardfehler | β – 1 Standardfehler] liegt.

Sind die Beta-Faktoren der einzelnen Aktien eines untersuchten individuellen Wertpapierportefeuilles durch Ausmittlung bekannt, so ist es eine Sache einfachen mathematischen Kalküls auch das zugehörige Portefeuille-Beta β_P zu errechnen: Das Portefeuille-Beta β_P ergibt sich schlicht und einfach aus der mit den Portefeuille-Anteilen gewichteten Summe der individuellen Wertpapier-Betas:

Portefeuille-Beta β_p = ∑ x_i * β_{i   ,}

d.h., bei i = n  Aktien*:   β_P = X₁ * β₁ + X₂ * β₂ + ... + X_n * β_n   ,

mit x_i = prozentualer Wert-Anteil des Portfolios (in dezimaler Schreibweise), der auf die Aktie i entfällt, wobei sich die Gesamtheit der Anteile stets auf 1 summiert, also: ∑ x_i = 1   .

[* Hinweis: Die Additivitätseigenschaft von Beta folgt aus der Lineraritätseigenschaft der Kovarianz.]

Regressionsanalyse

Zur quantitativen Ermittlung historischer Betawerte von Wertpapieren bedient man sich häufig der linearen Einfachregression ("Methode der kleinsten quadratischen Abweichungen"). Graphisch erhält man einen Standardschätzwert für den historischen β-Faktor auf der Basis gegebener Renditesequenzen (Tage, Wochen, Monate etc.) als Steigung (tan α) der linearen Regressionsgeraden (Ausgleichsgerade; die sog. Ex-post-"characteristic line"; Marktmodell*) durch die Punktwolke der Renditepaare, indem in einer Zeichnung eines Streudiagramms die Überschussrenditen einer bestimmten Aktie i bzw. eines individuellen Aktien-Portefeuilles i_p an der Ordinate gegen die Überschussrendite des Marktindex M an der Abszisse abgetragen (regressiert) werden (siehe nachfolgende Abbildung). Die Überschussrendite ist definiert als die rechnerische Differenz zwischen der Rendite der Aktie i bzw. des Marktindex M und dem Sicherheitszinssatz r_f während eines bestimmten Betrachtungszeitraums, also derjenige Renditebetrag, der über die Rendite einer nominal risikolosen Anlage hinausgeht bzw. sie unterschreitet.

[* William F. Sharpe: "A Simplified Model for Portfolio Analysis", Management of Science, 1963, S.277 ff.]

Abb.: Beispiel: Regressionsmodell

Formal gehorcht die Kleinst-Quadrate-Regressionsgerade der Gleichung:

r_i – r_f = α_i + (R_m – r_f) * β_i + ε_i    ,

mit r_i = Rendite des Wertpapiers i, r_f = Sicherheitszinssatz, α_i = Absolutglied des Wertpapiers i, R_m = Rendite des Marktindex, β_i = Regressionskoeffizient Beta des Wertpapiers i, und ε_i = Störterm (gr. kl. Epsilon). Wie unschwer zu durchschauen, gibt die Regressionsanalyse tiefergehende Aufschluss über den Verlauf der funktionalen Abhängigkeit der Überrenditen der Aktie i bei alternativen Überrenditen des Marktindex M.

Der übergelagerte Störterm ε_i (Residuum) misst den Abstand der Punkte der Renditepaare von der Regressionsgeraden (nach obiger Abbildung in vertikaler Richtung). Jener Renditeteil lässt sich damit nicht linear durch den Marktindex erklären. Für den Störterm ε_i wird unterstellt, er sei normalverteilt mit der Standardabweichung σ, habe einen Erwartungswert von null und sei zu allen anderen Renditen und Störtermen unkorreliert, d. h. Cov (ε_i, ε_j) = 0, mit i ≠ j. Dies impliziert, dass Renditeänderungen des Wertpapiers i nur über den Marktindex M erklärt werden. Die exakte Lage der Ausgleichsgeraden wird formell in der Weise festgelegt, dass die Summe der Werte der quadrierten Störterme (∑ε_i²) minimal wird.

Der Schätzwert α_i lässt sich hierbei als durchschnittliche "unsystematische" Überrendite des Wertpapiers i ausdeuten. Dieser bildet den Wert des Ordinatenabschnitts mit der Regressionsgeraden. Für den Koeffizienten α_i = (∑ Y / N) – (β_i * ∑ X / N) erhält man: (29,6567 / 12) – (1,5 * 15,7799 / 12) = + 0,498 (gerundet). Hinweis: Wenn statt mit Überrenditen mit den ursprünglichen Renditen gerechnet wird, so hat dies merklich verzerrende Auswirkungen auf den erwartungstreuen Schätzwert für α_i, während β_i hierdurch kaum beeinflusst wird.

Ließe sich die Höhe der Überrenditen der Aktie i stets perfekt durch die jeweiligen Ausprägungen der Überrenditen des Marktindex erklären, so lägen alle durch Punkte im Diagramm dargestellten Renditepaare passgenau auf der Regressionsgeraden (in diesem Falle wäre ε_i jedes Mal gleich null). Da aber ein perfekter linearer Zusammenhang der Renditen in der Realität kaum anzutreffen sein dürfte, werden die Renditepaare mehr oder weniger stark um die Ausgleichsgerade streuen.

Zu Aussagen über die Güte des durch die Kleinst-Quadrate-Regressionsgerade beschriebenen linearen Zusammenhangs verhilft das in der Statistik gebräuchliche Bestimmtheitsmaß R² (als der ins Quadrat erhobene Korrelationskoeffizient k_i,m, d.h. R² = k²_i,m), und nebstdem auch die Varianz des Störterms ε_i. Ersteres, das Bestimmtheitsmaß R², misst den Anteil der durch das Modell erklärten Renditeänderungen der Aktie i, der hierbei auf Änderungen der Renditen des Marktindex M zurückzuführen ist. R² hat einen Definitionsbereich von 0 bis +1, Letztere mit inbegriffen. Je weiter R² sich dem Wert +1 annähert, desto näher rücken die beobachteten Renditepaare im Durchschnitt an die Regressionsgerade heran.

Im obigen Beispiel erhält man das Bestimmtheitsmaß aus der Formel R² = β² * (σ²_x/σ²_y). Die Zahlen eingesetzt ergibt: R² = 2,25 * (7,45/25,11) = 0,668  (gerundet auf 3 Stellen rechts vom Dezimalzeichen). Rund 66,8 % der Schwankungen der Überrenditen der Aktie ließen sich demnach durch Schwankungen der Überrenditen des repräsentativen Index erklären.

Grenzen für die Anwendung von β

Soll der mithilfe einer Regressionsanalyse ausgemittelte Stand des Beta-Faktors auch im praktischen Gebrauch Eingang in die Anlageentscheidung finden, so wird man sich klar vor Augen halten müssen, dass hierbei methodologisch stets von der Annahme einer im Zeitablauf konstanten Steigung der "characteristic line" (Stationaritätsannahme) und damit implizit auch von bis in alle Ewigkeit stationären Kausalverhältnissen ausgegangen wird. Solange die Struktur der Kausalität der Renditen zumindest in ihren Grundzügen aufrecht erhalten bleibt, mag diese Vorgehensweise vertretbar sein. Verbesserte, weil realitätsnähere Ergebnisse, verspricht indes der Einsatz von Adjustierungsverfahren für die auf empirischen Daten beruhende Schätzwerte (insb. "mean-reverting"-Verfahren und solche, die aktuelle bzw. kurzfristig zu erwartende Entwicklungen in angemessener Weise berücksichtigen, wie etwa sog. "multiple Regressionsansätze"). Eine solche Adjustierung zum Zwecke der Steigerung der Verlässlichkeit der Prognose künftiger Beta-Werte mittels eines qualifizierten Verfahrens wäre wahlweise in einem sich an die Ermittlung des historischen Beta-Faktors anschließenden Schritt vorzunehmen.

Es verdient zum Schluss noch einmal ausdrücklich ins Gedächtnis gerufen zu werden, dass es geboten erscheint, bei sämtlichen mit statistischen Verfahren ermittelten, auf Vergangenheitsdaten beruhenden Kennzahlen äußerte Zurückhaltung im Hinblick auf ihre praktische Nutzanwendung auf dem Gebiet der Voraussicht zu üben. Keine Kennzahl oder Formel, auch wenn sie noch so gefällig scheint, vermag die Zukunft zu entschleiern. Dem Praktiker werden mit allen Projektionen von Werten auf die Zukunft bestenfalls Näherungsformeln für seine intendierten Anlageentscheidungen an die Hand gegeben; dies zumal alle realen Investitionsentscheidungen vorausgehende Prognosen, die sich auf historisch-statistische Kennzahlen, wie auf den Faktor Beta (β), stützen, schwerlich den im Sinne der Theorie für notwendig befundenen strengen Anwendungsvoraussetzungen und Messbarkeitsanforderungen zu genügen die Kraft haben werden.

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