Grundzüge der Portfoliotheorie

•    Theorie der Wertpapiermischung: 1.) Beschreibung des Modells

Die auf Harry M. Markowitz zurückgehende Portfoliotheorie von März 1952* ("portfolio selection theory") basiert auf der Erkenntnis, dass Investoren durch eine geschickt bewerkstelligte Mischung risikobehafteter Wertpapiere (typischerweise in Aktien) – also durch Bildung von Portefeuilles** – ein damit zu tragendes Risiko von Extremverlusten herabmindern können gegenüber einzelnen, isoliert gehaltenen Finanzanlagen, ohne dabei in Hinsicht auf Renditeerwartungen sich mit weniger zufrieden geben zu müssen (Verteilung des Risikos, "Risikostreuung"). Die sachliche Kernfrage der Portfoliotheorie, zu deren Lösung sie die Anleitung zu geben sucht, lautet demgemäß: Wie lässt sich ein solches, oft aus einer Vielheit verschiedener Wertpapiergattungen zu bildende, optimale Portefeuille für einen rational handelnden Investor auf systematische Weise ermitteln? – Mit der Beantwortung dieser Frage soll gleichzeitig eine auch im praktischen Wirtschaftsleben umsetzbare Handlungsempfehlung für eine vernünftige (objektiv situationsgerechte) Kapitalanlageplanung unter dem Risikoaspekt gegeben werden.

[* Portfolio Selection, The Journal of Finance, Vol. 7, Nr.1, März 1952]

[** Portefeuille von frz. porter, »tragen« und feuille, »Blatt«, dt.: Brieftasche; heutzutage genießt der Name "Portfolio" den allgemeinen Vorzug. – Ein Portfolio lässt sich als gedankliche Einheit aller platzierten Geld- und Kapitalanlagen eines Wirtschaftssubjekts auffassen. In diesem Sinne handelt es sich auch dann um nur ein Portfolio, wenn von ein und derselben Person bzw. Organisation zwei oder mehr getrennt voneinander gehaltene Wertpapierdepots unterhalten werden oder diese zumindest ihrer Disposition unterworfen sind.]

Da die Kapitaldispositionen der Marktteilnehmer vielfach zugleich eine wichtige Determinante der Finanzierungsmöglichkeiten von Unternehmungen bilden, liegt es in der Natur der Sache, dass der Portfoliotheorie in der Wirtschaftspraxis auch in unseren Tagen noch in vielen Belangen eine zentrale Stellung zukommt. Ohne Zweifel aber gehört sie damit nach wie vor zu den grundlegenden Ansätzen jeder betriebswirtschaftlichen Investitionsprogrammplanung und Finanzierungspolitik unter Berücksichtung des Unsicherheitselementes. Überdies bildet sie den Grundpfeiler und Ausgangspunkt für die jüngere Kapitalmarkttheorie, zumal für ihr Grundmodell, das unter dem Titel Capital Asset Pricing Model (CAPM) eine herausragende Bedeutung erlangt hat.

Der Leitgedanke des Verfahrens zur Portfolioauswahl, unter Wahrung der Chancen auf Vermögensgewinne durch Investitionsmischung Unsicherheiten zu verringern, lässt sich im Wesentlichen übertragen auch auf andere riskobeladene wirtschaftliche Handlungsmöglichkeiten jenseits der Zusammenstellung des optimalen Investitions- und Finanzierungsprogramms: So können die Erkenntnisse der Portfoliotheorie sich nicht nur bei der Geldanlage in Wertpapieren, sondern beispielshalber auch in Industrieunternehmungen, etwa bei der Auswahl des am meisten zu empfehlenden Produktions- und Absatzprogramms unter Unsicherheit, durchaus als fruchtbar erweisen.

•    2.) Annahmen des Modells

Die moderne Portfoliotheorie gehört zu den quantitativen Methoden des Wertpapiermanagements. Unter den zahlreichen Möglichkeiten der Risikoerfassung greift die Portfoliotheorie auf ein Entscheidungsprinzip unter Unsicherheit zurück, das mit dem Namen μ/σ-Prinzip (Erwartungswert-Streuungsregel) in das akademische Schrifttum eingegangen ist. Erst unter der Annahme nämlich, dass das Risiko einer Investition sich quantitativ präzise ermitteln lässt und, wie weiter angenommen, in der Standardabweichung (σ) der Renditen um den Erwartungswert (μ) ihrer als bekannt vorausgesetzten Renditeverteilung zu messen sei, wird eine methodische Annäherung an einen Lösungsansatz in der Frage der optimalen Portefeuillebildung überhaupt möglich.

Die Anwendung der Entscheidungsregel nach den beiden Zielgrößen Erwartungswert und Streuung (μ/σ-Prinzip) auf Portfolioentscheidungen erfordert mithin eine eindeutige Charakterisierung jedes zur Auswahl stehenden Wertpapiers durch zwei verschiedene Parameter:

–einen "Gewinnwert", wie eben den Erwartungswert der Rendite μ, und

–eine Maßzahl für das "Risiko", wie die statistische Standardabweichung σ (bzw. Varianz σ²) vom Erwartungswertμ.

Investoren bewerten sonach nicht die gesamte Wahrscheinlichkeitsverteilung der möglichen Renditen eines Wertpapiers, sondern greifen stattdessen stellvertretend auf die Parameter μ und σ zurück, wodurch sich ihre Kalküle um ein erhebliches vereinfachen. Sollen dabei aus der ursprünglichen Wahrscheinlichkeitsverteilung keine Informationen verloren gehen noch auch entscheidungstheoretische Plausibilitätsannahmen verletzt werden, so stellt dies besondere Anforderungen an die Vorgehensweise: Investitionsentscheidungen sind im Rahmen der Portfoliotheorie durchweg auf der Grundlage einer quadratischen Bernoulli-Nutzenfunktion und/oder einer ganz bestimmten algebraischen Form der Verteilung, wie sie z.B. normalverteilte Renditen hervorbringen, zu treffen. Darüber hinaus beruht das Grundmodell der Portfoliotheorie auf den folgenden konkreten Annahmen:

1. Der Planungszeitraum T beträgt genau eine Periode (T = 1), z.B. ein Kalenderjahr.

2. Es werden ausschließlich und ausdrücklich monetäre Konsequenzen in den Kalkül einbezogen. Investoren verfügen über eine vorgegebene Anfangsausstattung an Verwertung suchenden finanziellen Mitteln ("Budget"), welche sie in einem einzigen Zeitpunkt t=0, dem Anfang der Planperiode, restlos auf den Erwerb von Wertpapieren auslegen. Die Zahl der zur Auswahl stehenden Wertpapiere ist eine fest vorgegebene Konstante. Der Wiederverkauf der in t = 0 erstandenen Papiere erfolgt zu einem späteren Zeitpunkt t = 1, dem Ende der Planperiode. Die Anschaffungsausgaben für die einzelnen Wertpapiere sind mit Sicherheit bekannt; den aus den bezogenen Dividenden und Verkaufserlösen bestehenden einmaligen Einnahmen am Ende des Handlungsintervalls können indes nur subjektive Wahrscheinlichkeiten p zugeschlagen werden. Der mathematische Erwartungswert der Rendite μ der riskobehafteten Wertpapiere steht damit von selbst im Range einer Zufallsvariablen.

3. Alle zur Disposition stehenden Wertpapiere sind ohne Ausnahme bis in die kleinsten Quantitäten herab beliebig teilbar. Der Kapitalanleger kann sonach, falls erforderlich, etwa den Bruchteil eines Cent in jede der Aktien investieren. Transaktionskosten und Steuern bleiben bei alledem ausgeklammert.

4. Dem Wahlverhalten der Investoren sei unterstellt, dass diese bei gleicher Renditeerwartung derjenigen Alternative den Vorzug geben, deren Risiko, gemessen in der statistischen Standardabweichung σ, unter allen das geringste ist (Risikoaversion, Sicherheitspräferenz): Es ist dies ohne allen Zweifel stichhaltig; so mangelt es denn auch dem Wirtschaftsleben nicht an Erfahrungsbelegen, dass Risikoscheu* der augenscheinlich vorherrschende Grad der Wagelust ist. Überdies sind Investoren annahmegemäß rational in dem Sinne, dass sie bei gleichem Risiko eine höhere erwartete Rendite weniger hohen erwarteten Renditen vorziehen ("Renditemaximierung als Endvermögensmaximierung").

[* Das Prinzip der Risikoscheu sagt aus, dass nur dann ein höheres wirtschaftliches Risiko übernommen wird, wenn ihm gegenüber ein angemessener Vorteil in Aussicht steht. Eine Investition wird dem angerufenen Prinzip nach also nur dann durchgeführt werden, wenn abzusehen ist, dass die erwartete Rendite im Verhältnis zu ihrem Risiko überverhältnismäßig groß anschlägt. Mit Risikoscheu wird also keineswegs mangelndem Wagemut oder zaghaftem Unternehmergeist das Wort geredet!]

Die Rendite r eines Wertpapiers i berechnet sich nach der Formel:

r_i = (S₁ + D – S₀) / S_{0   ,}

mit: S₀ = Kurs des Wertpapiers im Erwerbszeitpunkt t = 0 (Einstandskurs), S₁ = Kurs des Wertpapiers im Zeitpunkt t = 1, und, D = Nettoertrag aus dem Papier, hauptsächlich in Gestalt von Dividenden, Bezugsrechten u.dgl., gewendet auf den Zeitpunkt t = 1.

Angenommen, ein Investor habe sich konkrete Vorstellungen davon gemacht, in welcher Höhe die zu erwartenden Renditen und Risiken von mehreren zur Wahl stehenden riskanten Wertpapieren anzuschlagen seien (was prinzipiell die Kenntnis ihrer jeweiligen Wahrscheinlichkeitsverteilung voraussetzt). Sein Plan sieht nun vor, eine anfänglich zur Verfügung stehende Investitionssumme im Ganzen auf die in Betracht gezogenen Wertpapiere zu verausgaben. Es stellt sich somit die Frage: Wie soll ein risikoscheuer Investor, der seine Entscheidungen vollständig auf der Grundlage des μ/σ-Prinzips trifft, verfahren, um eine vorzunehmende Diversifikation in optimaler Weise zu gestalten?

•    3.) Der Lösungsansatz

Die Lösung des Problems erfolgt nach einem dreistufigen Planungsansatz: In einem ersten Schritt wird die Menge der zulässigen Portefeuilles ermittelt ("feasible set"), daraus dann in einem nächsten Schritt die Teilmenge der für risikoaverse Investoren effizienten Portefeuilles ausgewählt, und schließlich wird aus dieser Teilmenge das für den individuellen Anleger optimale Portefeuille bestimmt. Als zulässig kommen allein solche Portefeuilles in Betracht, in denen der anzulegende Kapitalbetrag zur Gänze investiert ist.*

[* Sollte es bei der Aufteilung der finanziellen Mittel auf verschiedene Wertpapiergattungen zu negativen Portefeuilleanteilen bei einzelnen Papieren kommen ("Leerverkäufe", "short sales"), insofern das Modell diese Prämisse – entgegen dem ursprünglichen Modell Markowitzs – überhaupt einräumt, so lassen diese sich ökonomisch als risikobehaftete Finanzierungsmöglichkeiten interpretieren.]

Die erwartete Rendite einer Aktie i, symbolisiert durch μ_i, berechnet sich nach bekannten statistischen Regeln der mathematischen Erwartung wie folgt:

μ_i = ∑ p_z r_iz  ,

mit ∑ : Summensymbol, wobei unter der Summe alle Zustände z des Möglichkeitsraums laufen sollen, p : Wahrscheinlichkeit jedes Zustandes z, und, i : Aktie i. Die erwartete Rendite eines Kapitalauslage stellt sich dar als die Summe aller aus ihren möglichen Renditeausprägungen und den beizuzählenden Wahrscheinlichkeiten gebildeten Produkte.

Die Varianz der erwarteten Renditen eines Wertpapiers i, symbolisiert durch σ_i², ergibt sich grundlegenden statistischen Regeln gemäß aus der Formel:

σ_i² = ∑ p_z (r_iz – μ_i)²   . Die Standardabweichung σ_i kommt der Wurzel aus σ_i² gleich.

Die erwartete Rendite eines Portefeuilles μ_p entspricht der mit ihrem Anteil am Portefeuille gewichteten Summe der erwarteten Renditen der einzelnen in ihm enthaltenen Wertpapiere:

μ_p = ∑ x_i μ_i   , mit i = 1 .... n, wobei gilt: ∑ x_i = 1 bzw. = 100 %.

Die einzelnen Variablen seien wie folgt bezeichnet: ∑ : Summensymbol; i: Aktie i, wobei i = 1 ... n im n-Aktien-Fall; x_i: prozentualer Anteil des Ausgangsbudgets, der in Aktie i investiert sei (wobei die Summe aller Auslagen das Ausgangsbudget ganz erschöpft), und, μ_i: erwartete Rendite der Aktie i.

Für das Portefeuillerisiko, gemessen in der Portfolio-Standardabweichung σ_p, gilt die Aussage: Das Risiko eines Portefeuilles σ_p ist abhängig von den Varianzen der Renditen der einzelnen zu mischenden Wertpapiere (auch als Dispersion oder Streuung bezeichnet), ihren Kovarianzen (bzw. den Korrelationen; Korrelationen von +1 und –1 werden indes für alle Wertpapiere a priori ausgeschlossen) und den Anteilen, mit denen einzelne Wertpapiere im Portefeuille vertreten sind:

σ_p = [∑ x_i² σ_i² + ∑ ∑ x_i x_j σ_ij]^½   .

Die Summierung erstreckt sich im n-Aktien-Fall auf alle i- und j-Werte von i bzw. j = 1 .... n, wobei gilt: i ≠ j. Die Kovarianz der Renditen der Aktie i und der Aktie j ist hierbei durch σ_ij symbolisiert. Dieser Ausdruck lässt sich alternativ auch folgendermaßen schreiben:

σ_p = [∑ ∑ x_i x_j σ_ij]^½   , wobei die Summierung wiederum über alle einbezogenen n Aktien läuft.

Da bei der Kapitalsanlage aus unterschiedlichsten Ursachen Verlustgefahren drohen und ökonomische Unsicherheitsursachen sich nicht zu allen Zeiten auf alle Wertpapiere vollkommen gleich und ebenmäßig auswirken, ist das Portefeuille-Risiko auch nicht einfach nur eine Addition seiner Einzelrisiken. Entspräche das Risiko eines Portefeuilles generell seinem Durchschnittsrisiko, wäre eine Portefeuillebildung für risikoscheue Investoren eine wenig interessante Sache. Alle finanziellen Mittel wären alsdann in jene Aktie zu investieren, deren erwartete Rendite im Verhältnis zu ihrem wahrgenommenen Risiko die höchste ist.

Sind indessen die Renditen der einzelnen ein Portefeuille konstituierenden Aktien stochastisch in weitem Maße voneinander unabhängig, so hat dies eine spürbare Reduzierung des Portefeuille-Gesamtrisikos zur naturgemäßen Folge, zumal dann, wenn die Zahl der in einem solchen enthaltenen Aktiengattungen hinlänglich groß ausfällt. Die Gefahr, dass alle Vermögenswerte eine negative Entwicklung zugleich vollziehen (bis hin zu einem Totalverlust), schwindet hierdurch merklich. Ein durch geschickte Einteilung von Anlagemitteln erzeugtes Portfolio geht sonach mit einem geringeren konsolidierten Risiko einher als es in der Summe seiner Einzelrisiken zum Ausdruck kommt. Durch Bildung von Portefeuilles bleibt ein damit zu tragendes Risiko, außer im Extremfall vollkommen positiver Korrelation zwischen den Renditen der einzelnen Wertpapiere, im Resultat stets hinter dem mit den Portefeuille-Anteilen gewogenen Mittel der Standardabweichungen der einzelnen Wertpapiere zurück. Der auf diese Weise bewirkte Diversifikationseffekt lässt sich durch Aufnahme von negativ korrelierten Wertpapierarten in das Portfolio sogar nochmals verstärken. Unter Vorherrschaft von Risikoaversion besteht die Aufgabe eines rational entscheidenden Investors, der durch Streuung von Anlagemitteln eine Risikoreduktion herbeizuführen sucht, folglich darin, Mischungen von Wertpapieren aufzufinden, bei denen sich möglichst niedrige Korrelationen einstellen, und nicht etwa darin, eine Auswahl von Aktien mit möglichst geringen Einzelrisiken zusammenzubringen.

Um die geschilderten Zusammenhänge auch grafisch zu veranschaulichen, wird zunächst jedes der zulässigen Portefeuilles durch einen Punkt in einem μ/σ-Diagramm abgebildet, dessen Risikowert σ, wie üblich, an der Abszisse und dessen Gewinnwert μ an der Ordinate abgetragen wird. Auf einer folgenden Stufe wird die Gesamtheit der vorliegenden Portefeuilles aufgeteilt in effiziente und ineffiziente Portefeuilles.

Abbildung: Portfoliolinie, effiziente Portfolios (grünfabiger Linienabschnitt) und ineffiziente Portfolios

Ein Portefeuille heißt effizient, wenn es kein anderes Portefeuille gibt, das entweder bei gleichem σ_p ein höheres μ_p oder bei gleichem μ_p ein niedrigeres σ_p aufweist. Aus leicht begreiflichen Gründen ist jedem effizienten Portefeuille somit auch jedes Portefeuille von zugleich höherem μ_p und niedrigerem σ_p fremd. Effizient ist ein Portefeuille also immer dann, wenn kein anderes zulässiges Portefeuille existiert, das nach dem μ/σ-Prinzip eindeutig besser (dominant) ist. Man erhält die Menge an effizienten Portefeuilles, indem man der Reihe nach die das Risiko minimierenden Anteile der zu mischenden Wertpapiere am Gesamtportfolio für alle in Frage kommenden Renditeerwartungen ausrechnet. Hierzu sind entsprechende mathematische Aufgaben der quadratischen Programmierung zu lösen*. Die durch Minimierung der Zielfunktion gefundenen Portefeuilles liegen dargestellt in einem μ/σ-Diagramm sämtlich auf einer streng mathematisch "guten" Kurve der Investitionsgelegenheiten: der sogenannten Effizienzlinie ("efficient frontier"), graphisch zwischen dem Portfolio mit dem maximalen Ertrag an dem einen und dem Portfolio mit dem minimalen Risiko am anderen Ende auf der Peripherie (in der obigen Abbildung grünfarbig hervorgehoben).

[* Um an dieser Stelle nicht in Formalismen zu rechentechnischen Fragen einer Optimumsbestimmung steckenzubleiben, sei für mathematische Details sich interessierende Leser auf die zahlreiche akademische Literatur verwiesen, wo solche formalen Modellierungen säuberlich und haarklein dargelegt sind.]

Die sachliche Bedeutsamkeit der Effizienzlinie liegt nun entschieden darin, dass beim Ausschau halten nach dem optimalen Portefeuille alle anderweitigen (inferioren) Portefeuilles, die ihren Platz auf der Isoquante nicht haben, aus der Betrachtung verschwinden. Diese lassen sich sogleich als erkennbar ungeeignet ausschließen, was die endgültige Auslese um ein Beträchtliches erleichtert.

Übertragen auf den praktischen Anwendungsfall eines Investors, der überlegt, auf welche Weise er sein Kapital auf die ihm offenstehenden Anlegemöglichkeiten verwenden soll, heißt dies: Zwar trifft er, wie jeder rational Entscheidende, seine Anlagedisposition auf der Grundlage des Modells der Portfolioauswahl; rücksichtlich der auf die einzelnen zur Auswahl offenstehenden Investitionsgelegenheiten zu verteilenden Geldbeträge jedoch wird er Summen nur in einer solchen Höhe auslegen, die in seiner persönlichen Einstellung gegenüber dem Risiko ihr richtiges Maß finden. Mit diesem Vorgang liegt zugleich auch die Endauswahl fest, welche Aktien mit welchem Gewicht im Portfolio vertreten sind.

Der individuelle Grad der Risikoscheu der Investoren schlägt sich im μ/σ-Diagramm in einem unterschiedlichen Verlauf einer sog. Indifferenzkurvenschar nieder. Als Indifferenzkurve bezeichnet man Kombinationen von μ und σ, die den gleichen Risiko-Nutzen stiften. Bei gegebener individueller Risikopräferenzfunktion erfährt das optimale Portefeuille unter den gesetzten Modellannahmen letztlich vom Berührungspunkt der Indifferenzkurvenschar mit der Effizienzlinie seine eindeutige Bestimmung.

•    4.) Erweiterung des Modells um eine sichere Anlagemöglichkeit

Sowie sich den Kapitalanlegern eine zusätzliche Anlage- und Verschuldungsmöglichkeit darbietet, welche zu einem im Vorhinein feststehenden Satz ("pure rate") eine zuverlässige Kapitaldisposition für jede beliebige Summe zulässt, ist die Bildung von Portefeuilles aus risikobehafteten Investitionsobjekten keine Sache des persönlichen Geschmacks mehr, wenn das Wahlverhalten nicht gegen Rationalitätsannahmen verstoßen soll. Das einzige Portefeuille, das unter den vorgedachten Modellverhältnissen nunmehr die Existenz dominanter Positionen ausschließt, ist allein das Tangentialportefeuille, also jenes Portfolio, das im μ/σ-Diagramm durch den Punkt auf der ursprünglichen Effizienzlinie riskanter Wertpapiere repräsentiert wird, welcher von der vom Sicherheitszins ausgehenden Tangente berührt wird. Kein anderweitiges kann seinem Eigner jetzt noch einen größeren Nutzen stiften. Alle nicht dominierten (und darum effizienten Misch-) Portefeuilles finden sich ohne Ausnahme auf dieser Tangente zusammen. Anders gewendet: Jede effiziente Mischung ist unter den hier vorausgesetzten Prämissen eine Kombination aus dem Tangentialportefeuille und der sicheren Anlage- und Verschuldungsmöglichkeit. Die Struktur des in jeder effizienten Mischung beschlossenen Portefeuilles der ausschließlich mit Risiko behafteten Wertpapiere bleibt somit immer die gleiche; sie ist insbesondere unabhängig davon, welche Position ein Investor nach seinen individuellen Verhältnissen letzten Endes auf der Effizienzgeraden im μ/σ-Diagramm einzunehmen plant und damit in letzter Hand auch unabhängig vom Grad der Risikoaversion (Tobin-Separation*). Im einem nächsten Schritt wird der Investor, je nach Ausmaß seiner Risikoscheu, die in das auf der Effizienzlinie gefundene Portefeuille investierten Mittel mit Anlagemitteln zum Sicherheitszinssatz kooperieren lassen, diese aber auch, sofern er das Risiko weniger scheut, mit Verschuldung zum Sicherheitszinssatz zusammenbringen.

Der hier vorgestellte modelltheoretische Ansatz der Geldanlageplanung trägt in wissenschaftlichen Texten den Namen "Separationstheorem" deswegen, weil sich das Entscheidungsproblem zur optimalen Wertpapiermischung dem Prinzip nach in zwei Phasen trennen lässt:

1. Die Bestimmung der Zusammensetzung des optimalen Portefeuilles, welches unabhängig vom Ausmaß der Risikoaversion des Investors ist, und

2. die Kombination dieses Portefeuilles mit zuverlässiger Anlage (oder Verschuldung) unter Berücksichtigung der persönlichen Risikoeinstellung.

[* James Tobin wurde 1981 mit dem Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften ("Wirtschaftspreis") ausgezeichnet.]

•    5.) Kritisch Würdigung der Portfoliotheorie

Die normative Portfoliotheorie liefert in konsistenter Weise Antworten auf die Fragestellung, wie risikoscheue Investoren, die nach Erwartungswert und Streuung entscheiden (d. h. sich am μ/σ-Prinzip orientieren), sich vernünftig verhalten können. Sie macht deutlich, dass und unter welchen Umständen sich durch Mischung von Investitionsobjekten Risiken vernichten lassen. Neben der oben skizzierten Problematik aus entscheidungstheoretischer Sicht führt die Anwendung des μ/σ-Prinzips auf reale Entscheidungssituationen aus folgenden Gründen zu gewissen Verwicklungen, welche die Nutzanwendung der Portfoliotheorie im Tatsächlichen eng begrenzen:

1. Eine gewisse Komplikation bei der praktischen Verwertung des Modells ist in der Informationsbeanspruchung zu erblicken: Für eine konsistente Berechnung der Portefeuilleanteile benötigt man für sämtliche der darin einbezogenen Objekte nicht nur die einzelnen Erwartungswerte und Standardabweichungen ihrer künftigen Zahlungen, sondern auch all ihre Kovarianzen; bei n Objekten gibt es allein n × (n – 1) / 2 Kovarianzen. Mag es bei Wertpapieren durchaus noch angehen, die erforderlichen Daten auf der Grundlage statistischer Berechnungen abzuschätzen, so stößt ihre Ermittlung bei Sachinvestitionen auf schier unlösbare Probleme.*

[* Eine gewisse Abhilfe in der praktischen Umsetzung hierbei schafft die Verwendung des Indexmodells Sharps.]

1. Der Planungszeitraum bezieht sich auf lediglich eine Periode. Investitionen wirken sich aber i. Allg. über mehrere Perioden aus. Die Erweiterung des Modells auf mehr als zwei Zahlungszeitpunkte würde aber eine erhebliche Komplizierung bedeuten, und außerdem zu einem Ansteigen des ohnehin schon erheblichen Datenbedarfs führen.

2. Das μ/σ-Prinzip setzt eine quadratische Risikonutzenfunktion der Anleger und/oder eine bestimmte Form der Wahrscheinlichkeitsverteilung, z.B. eine Normalverteilung der Renditen sämtlicher Wertpapiere voraus. Empirische Untersuchungen deuten hingegen bei risikotragenden Wertpapieren eher hin auf Verteilungen mit gegen unendlich strebender Varianz bei höheren Dichten, zumal für mittlere als auch für sehr hohe und sehr niedrige Renditen. Überdies geben quadratische Nutzenfunktionen in der Empirie zu einigen Bedenken Anlass; quadratische Nutzenfunktionen haben nämlich die erfahrungswissenschaftlich höchst zweifelhafte Eigenschaft zunehmender Risikoaversion bei steigenden Renditeerwartungen.

3. Das Separationstheorem wird im Falle der Sachinvestitionsplanung kaum wirkliche Geltung beanspruchen können, weil hierzu beliebige Teilbarkeit in einem noch geringeren Maße vorausgesetzt werden darf als bei Wertpapieren.

Auch wenn das Modell der Portfolioauswahl in seiner Grundform angesichts überaus enger Anwendungsvoraussetzungen im groben betrachtet schwerlich zu einem praktischen Einsatz angetan sein mag, so führt es doch die wesentlichen Zusammenhänge, die bei der Wertpapierauswahl unter Unsicherheit zu erwägen sind, in aller Deutlichkeit vor Augen: So wird die Bedeutung der in den Kovarianzen zum Ausdruck kommenden stochastischen Abhängigkeiten (Interdependenzen) zwischen den Investitionsobjekten klar erkennbar: Bei der Beurteilung von Einzelprojekten ist demgemäß das in der Standardabweichung gemessene Gesamtrisiko nicht ausschlaggebend, da es ein Leichtes wäre, ein stattliches Quantum dieses Risikos (namentlich das "unsystematische Risiko", das ist das einzelnen Aktien inhärente branchen- bzw. unternehmensspezifische Risiko, welches im Übrigen bei isolierter Betrachtung regelmäßig überwiegt) durch eine effiziente Mischung mit anderen Objekten zu vermeiden.

Von Wesenheit ist dagegen das verbleibende Restrisiko: das sogenannte "systematische Risiko", das auch als gesamtwirtschaftliches Risiko oder Markt-Risiko bezeichnet wird und dem eine besondere Beachtung allein deshalb zukommen muss, weil es sich in nichts durch Diversifikation eliminiert lässt (wohl aber sich durch Hedging gezielt kompensatorisch steuern lässt). Nur dieser Teil des Gesamtrisikos eines untersuchten Investitionsobjekts liefert den maßgeblichen Beitrag zum Risiko des gesamten Investitionsprogramms. Das systematische Risiko wird quantitativ durch die Kovarianz bzw. das Verhältnis von Kovarianz zur Varianz des Gesamtprogramms erfasst. Das letztere (relativierte) Risikomaß heißt Beta (β) und spielt in der neueren Kapitalmarktgleichgewichts- und Finanzierungstheorie, insbesondere im Modell der Wertpapierlinie (CAPM), im Marktmodell (MM) und der Arbitrage Pricing Theory (APT), eine herausragende Rolle.

Ziel des CAPM, welches auf der Portfoliotheorie fußt, ist es, Konkurrenzgleichgewichtspreise für Wertpapiere unter Ungewissheit herzuleiten. Nach dem CAPM ist die erwartete Rendite einer Aktie in einem supponierten Kapitalmarktgleichgewicht eine lineare Funktion der durch ihr β gemessenen Risikomenge. Wie oben schon ausgeführt, ist der β-Faktor eines individuellen Wertpapiers definiert als der Quotient aus Kovarianz des betreffenden Wertpapiers zur Varianz des Marktportefeuilles. Vereinfacht behauptet das CAPM: Der Erwartungswert der Rendite einer risikobehafteten Anlagemöglichkeit (z.B. einer Aktie) besteht im Marktgleichgewicht aus der Summe des risikolosen Geldmarktzinssatzes und einer Risikoprämie. Die Risikoprämie ist das Produkt aus dem Marktpreis für das Risiko (= Differenz zwischen Erwartungswert der Rendite des Markt-Portfolios und der sicheren Anlagemöglichkeit) und der marktrelevanten Risikomenge der risikobehafteten Anlagemöglichkeit β. Die praktisch Anwendung von β im Rahmen der "asset allocation" setzt indes voraus, dass auch das μ/σ–Prinzip praktisch angewandt werden kann. Nach dem Vorstehenden wird eines unmittelbar ersichtlich: Die Vielzahl an argen Modellvereinfachungen entleert offensichtlich den Anspruch des CAPM, es könne die Börsenkurse in der Realität adäquat erklären.

Als wesentliches Ergebnis dieser Überlegungen bleibt festzuhalten, dass die Beurteilung der Vorteilhaftigkeit einzelner Kapitalanlagen nicht losgelöst von der Struktur der übrigen risikotragenden Anlagemöglichkeiten getroffen werden kann. Vernünftige Investitions- und Finanzierungsentscheidungen wird der Disponierende auf der Grundlage des μ/σ-Prinzips immer "simultan" zu treffen haben. Das für einzelne Anlageobjekte relevante Risikomaß ist im Rahmen eines vollständig diversifizierten Portefeuilles allein und ausschließlich das Kovarianzrisiko.

Harry M. Markowitz, amerikanischer Wirtschaftswissenschaftler, *Chicago 24. 08. 1927; Professor an der City University of New York gebührt das Verdienst des Begründers der Portfolio-Selection Theory; Harry M. Markowitz erhielt im Jahre 1990 zusammen mit Merton Howard Miller und William F. Sharpe für seine bahnbrechenden Forschungen zur betrieblichen Finanzmarkt- und Finanzierungstheorie den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften ("Nobel Memorial Prize in Economic Sciences", "Wirtschaftspreis").