Über die
Volatilität
Volatilität
(abgeleitet vom italienischen volare, »fliegen«, »Flatterhaftigkeit«,
»Beweglichkeit«) ist ein in der Finanzwirtschaft geläufiges Maß für
das gesamte ("aggregierte") einer marktmäßig gehandelten Geldanlageform
anhaftende Risiko durch Marktpreisfluktuation. Das hiermit angesprochene
finanzielle Gesamtrisiko einer Kapitalverwendung erfüllt sich in der
für möglich und denkbar gehaltenen künftigen Schwankungsbreite (Streuung,
Variabilität) ihrer Zielgröße (Kurs, Preis, Rendite und sonstige Wertgrößen)
um deren erwarteten Mittelwert, dem Schwankungszentrum. Je breiter sich
die Streuung der Zielgröße um diesen Referenzwert verteilt, desto höher
liegt die Volatilität, und umso risikoreicher erscheint damit die Investition
als Ertragsquelle. Andrerseits gilt: Der Grad der Gewissheit, dass genau
derjenige Kurs-, Preis-, Wert-, Rendite-Stand u.dgl.
sich tatsächlich einspielt, auf den man mit vernünftigem Grund rechnen
kann, steigert sich ist dem Maße, als sich die Streuung um den Referenzwert
der Zielgröße enger stellt. Kurz gefasst: je schmaler die Streubreite
und je gleichmäßiger mit ihr der Wertstand, desto sicherer und zuverlässiger
wird die Kapitalinvestition.
Das Hauptaugenmerk auf dem Untersuchungsfeld
der Volatilität ist ganz auf die fragliche Gangart der betrachteten
Preis- oder Wertgröße gerichtet. Ein Markt wird schlechtweg als volatil
bezeichnet, wenn die auf ihm hervorgebrachten Preise nicht unbeträchtlich
schwingen.* Geld in stürmisch schwankende (volatile) Märkte hineinzuverwenden
kommt in diesem Sinne von selbst einer gewagten, "unsicheren" Kapitalsanlage
gleich. Umgekehrt gilt eine Kapitalauslage auf einem mit einem Festpreis
versehenen Markt als vergleichsweise sicher. Bei schärferem Zusehen
umschreibt die Volatilität – im Wirtschaftsleben vorzugsweise die von
kurshabenden Wertpapieren (=
Kursvolatilität) – die Häufigkeit und Stärke der Preisausschläge in
der Richtung aufwärts wie abwärts, oder wie der gelehrte Ausdruck sagen
will: den Grad der Variationsfähigkeit der Preise. Mit ganz unterschiedlichen
Ergebnissen. So ist es ein grundlegender Erfahrungssachverhalt, dass
die Verteilung der Börsenpreise von Aktien in bewegten, unruhigen Zeiten
heftiger umschlägt als es in geordneten geschieht, und weiter, dass
die Preise der letzterwähnten Klasse der Geldanlage in ihrer Gesamtheit
gewöhnlich wieder schrofferen Schwankungen ausgesetzt sind als man das
unter gesitteten Verhältnissen bei den Preisen der festverzinslichen
Wertpapiere ("Bonds") zu beobachten vermag. Gleichviel nun, welche Art
Wertpapier in Frage steht: Der Natur der Sache nach wird die Volatilität
bei plötzlich auftretenden Preiserschütterungen anwachsen; sie wird
wieder abflauen bei Eintritt einer Beruhigung und Verflachung der Marktlage.
[* Der Markt befindet
sich damit gewissermaßen im Zustand einer nervösen Spannung, die sich
vermehrt in unruhigen, hastigen Auf- und Abbewegungen des Preises äußert.
So nämlich, wenn die Preiskurve auf kürzere Frist im Zickzack irrlichteliert
oder gar außer Rand und Band geht.]
In den allgemeinsten Umrissen, und freilich
auch im vagsten Verstand, lässt sich über das "Risiko" aussagen, dass
es mit seinem Erscheinen den Erfolg, auf den wir es abgesehen haben,
zweifelhaft macht. Insofern ist unter dem Walten des Risikoeinschlags
die Aussicht auf Erlangung eines wirtschaftlichen Vorteils notorisch
der Unsicherheit preisgegeben. Ob ein solcher sich überhaupt einstellt
und falls so, zu welchem Zeitpunkt und in welcher Größenordnung, das
lässt sich nicht mit Bestimmtheit voraussehen. Mitunter liegt sogar
die Gefahr einschneidender Vermögensverluste ganz nah. Von diesem Gesichtspunkt
aus wird leicht einzusehen sein, dass das in der Volatilität gelegene
Begriffsverständnis von Risiko* nicht allein negative (unliebsame,
unerwünschte), sondern gleichfalls positive (erhoffte und erwünschte)
Abweichungen von der erwarteten Zielgröße rundweg mit umfasst. Eine
erhöhte Volatilität geht demgemäß einher mit einer nicht zu unterschätzenden
Wertgefahr, gleichzeitig aber auch mit einer entsprechend guten Gewinnaussicht;
und umgekehrt. Über die Richtung selbst sagt sie indessen nichts aus.
[* Aus diesem Gesichtspunkt
steht in dieser Abhandlung die Gegebenheit des Risikos einzig
im entscheidungstheoretischen Sinne in Verwendung, nämlich als Ausdruck
für eine musterhafte Erscheinungsform von Unsicherheit.]
Gelegentlich findet sich im finanzwirtschaftlichen
Schrifttum noch ein zweites, verengertes Begriffsverständnis von Risiko
durch Kapitalüberlassung: Danach steht der Begriff von Risiko entweder
in der Bedeutung, die ursprünglich ins Auge gefasste Mindestverzinsung
zu verfehlen oder er wird schlicht und einfach mit Verlustgefahr gleichgesetzt
("downside-risk", "pure risk"). Die Möglichkeit der Verwirklichung
eines den Erwartungswert (Durchschnittswert) übertreffenden Wertes fällt
dahingegen eigens unter den Begriff der "Chance" (von lat. "cadentia",
»Fall der Würfel«). Richtet sich das Augenmerk hinwiederum weniger auf
das gesamte, d.i. das im Rahmen
der Portfolioauswahl "aggregierte" Risiko einer Investition für sich
allein genommen, als hauptsächlich und namentlich auf das
marktbezogene Risiko
als besonderem Teil des einem Investitionsvorhaben eigenen Gesamtrisikos,
so vermag der sogenannte Beta-Faktor den
allgemeinen Vorzug vor dem Volatilitätsmaß zu behaupten. Dies liegt
vor allem darin, dass der Beta-Faktor sich nicht nur in der Wissenschaft,
sondern auch in der Finanzpraxis für diesen Zweck einmal über das andere
als die entschieden tauglichere Maßgröße erwiesen hat. – Zu den noch
mehr zeitgemäß fortgebildeten Risikomaßen gehören Maße, wie "sharpe-ratio"
oder "value at risk" (VaR) es sind.
Die Volatilität an sich besitzt keinen
Eigenwert. Sie ist weder eine Nutzen oder Schaden bringende noch auch
eine bedeutungslose oder gar gleichgültige Erscheinung des Wirtschaftslebens.
Zwar steigert sie durch ihr bloßes Dasein weder das Maß der äußeren
Wohlfahrt noch tut sie ihr irgendeinen Eintrag. Gleichwohl ist die Volatilität
als Markttatbestand wahrhaft feststellbar. Um ihr in der Anwendung einen
Wirtschaftsnutzen abzulocken, ist sie als Erstes notwendig an ihren
Zielen und Aufgaben zu bemessen und zu beurteilen. So wird sie allemal
dann von nutzbringendem Einfluss sein, wenn Nachrichten über Zeitereignisse
von allumfassender Wichtigkeit für den Markt sich mit ihrem Eintreffen
getreu und unverzüglich in den Preisen niederschlagen (fundamentale
Volatilität). Sie wird jedoch verderblich sein, wenn sie durch entsprechende
Tatsacheninhalte in Nichts gestützt und also ganz ohne innere Berechtigung
ist ("oszillierende" oder regellose Preisschwankungen; "transitorische
Volatilität", "noise").* Letzten Endes kann es darum umso
weniger des Amtes einer Obrigkeit sein, die Volatilität entschieden
an ihrer Entfaltung zu hindern.
[* Es scheint dies
weniger die Ausnahme als die Regel zu sein. Empirische Studien weisen
vermehrt darauf hin, dass ein guter Teil der Volatilität nicht durch
einen bestimmten von außen kommenden Anstoß herbeigeführt wird, sondern
die treibende Kraft in sich selbst trägt. Sonach bringt der Handelsverkehr
die Volatilität zu einem nicht geringen Teil selbst hervor, da er für
den eigenen Ansporn ein stetes Auf- und Niedertanzen (Oszillieren) der
Preise erfordert.]
Das Risiko einer kurshabenden Geldanlage
lässt sich sowohl nach quantitativen wie nach qualitativen Maßstäben
messen. Die quantitative Erfassung* des Risikos nimmt
ihren Ausgang anstatt von absoluten Preis- oder
Kursgrößen fast immer von Preis- bzw. Kursrelationen. Sie greift
vornehmlich auf die Verhältniszahl
Rendite (Gewinn-
oder Profitrate,
Kapitalrentabilität,
Kapitalrente,
interner Zinsfuß, "rate
of return") als die maßgebende Zielgröße des Kalküls zurück.
Die Rendite stellt diejenige Ertragskennzahl dar, die in Wirtschaftstheorie
und kaufmännischer Praxis die weiteste Verbreitung als Beurteilungsmaßstab
für die Vorteilhaftigkeit (Performance) finanzwirtschaftlicher Verfügungen
gefunden hat. Die erzielte Rendite (vor Steuern) einer untersuchten
Investitionshandlung bemisst sich nach dem finanziellen Ergebnis (Vermögenszuwachs/-minderung),
welches die während einer betrachteten Abrechnungsperiode anfänglich
eingesetzten und darin gebundenen eigenen und/oder fremden Gelder hervorgebracht
haben, indem es zur Größe der Letzten ins Verhältnis gesetzt wird. So
sagt eine Rendite beispielsweise von 10 Prozent ("10%"
oder "0,1") aus, dass eine einschlägig veranlagte Geldeinheit von Anbeginn
der Geldanlage an bis zum Periodenende den zehnten Teil (10 v.H.)
über ihren ursprünglichen Wert hinaus verdient, und sich damit auf 1,1
Geldeinheiten vermehrt hat (=
Kapitalzuwachs).**
[* Die qualitative
(nicht rechenbare) Risikobeurteilung dagegen stellt ganz auf die Bonität,
d. i. den Gütegrad des Schuldners ab und umfasst damit vorzugsweise
die Einstufung in verschiedene vordefinierte
Rating-Kategorien (Güteklassen)
durch Ratingagenturen.]
[** Der methodische
Vorzug relativer Veränderungsraten von Kursen
(= Renditen) besteht außer
in der dadurch möglich werdenden einfachen Vergleichung von Rechenergebnissen
– zumal bei unterschiedlich hohen Investitionssummen – insonderheit
darin, dass ihr Gebrauch ein konsistentes Arbeiten mit wahrscheinlichkeitstheoretischen
Zufallsgesetzmäßigkeiten erlaubt und diese hierbei zu gefälligen mathematischen
Lösungen führen. Dieser Befund gilt nicht zum wenigsten von logarithmierten
Renditegrößen.]
Auf jedem beliebigen Geschäftsfeld weist
man unter vernünftiger Wirtschaftsführung die frei verfügbaren Finanzmittel
der Reihe nach in die sichersten oder ergiebigsten Verwendungsgelegenheiten
ein. Eine offenstehende, zu beurteilende Investition bringt für sich
allein genommen immer dann einen wirtschaftlichen Vorteil heim, wenn
ihre Rendite den zu ihrer Finanzierung angeschlagenen Zinsfuß zu übersteigen
vermag (positiver Kapitalwert). Im Falle der Eigenkapitalfinanzierung
wird sich die dafür maßgebende Zinsrate ausrichten an der nächstbesten,
innerhalb der jeweiligen Risikoklasse sonst möglichen (entgangenen)
Rendite, die um ihretwillen nicht mehr verwirklicht werden kann (Opportunitätskostenprinzip).
Alle übrigen Investitionen, deren Renditen hinter dem in Ansatz gebrachten
Zinsfuß zurückbleiben, gelten für unrentabel. Retrospektiv, also rückblickend
lässt sich die Rendite der Haltezeit (gleich Ex-post-Rendite, historische
Rendite) stets mit voller Treue ausmessen und entsprechend würdigen;
für eine sachgerechte Anlageplanung und Entscheidungsfindung ist im
Finanzleben jedoch die prospektive, d.i.
die zukunftsbezogene Rendite (die ausblickende, voraussichtliche Rendite,
also die sog. erwartete Rendite = Ex-ante-Rendite, ausgedrückt
gemeinhin durch den mathematischen "Erwartungswert" der Rendite) maßgebend.
Der methodische
Ansatz zur Wertung und Einschätzung
der historischen (empirischen) Volatilität einer Kapitalanlage
("historical volatility", "realized volatility") ist auf
der Berechnung der statistischen Standardabweichung (σ;
gr.: kl.
Sigma)
gegründet. Als Urmaterial dienen ihr landläufig Zeitreihen von erfolgten
Investitionsrenditen im untersuchten Markt durch einen bestimmten Beobachtungszeitraum
hindurch. Die Standardabweichung σ ihrerseits, die man in der
Statistik gemeinhin als zentrales "Moment 2. Ordnung", allgemein auch
als "Streuung", "Dispersion", "mittlere quadratische Abweichung" oder
"mittlerer Fehler" kennt, stellt sich bekanntlich durch die positiv
genommene Wurzel der Varianz σ2 heraus. Die Standardabweichung
σ misst hiernach die durchschnittliche Abweichung der einzelnen während
eines bestimmten Untersuchungszeitraums beobachteten (Tages-, Wochen-,
Monats-, Jahres- usw.) Investitionsrenditen von ihrem Mittelwert (μ;
gr.: kl. My).
Der für die Beurteilung der auf die Vergangenheit
gerichteten Wertbewegung genutzte Leitgedanke ("performance evaluation")
lässt sich vorwärtsschauend auf erwartete (zukunftsbezogene und damit
unsichere, zufällige) Werte übertragen, sofern man unterstellt, dass
dagewesene Renditeausprägungen bestimmend ("indikativ") für zukünftige
Renditeausprägungen sind. Die Standardabweichung vom Erwartungswert
der Rendite steht bei diesem Vorgang sodann stellvertretend als Maß
für das Risiko der als bekannt vorausgesetzten gesamten Wahrscheinlichkeitsverteilung
der Renditen einer Investition.* Wie die alltägliche Anschauung
lehrt, erhöhen sich die Renditeerwartungen in dem Grade, als das mutmaßliche
Risiko steigt; und umgekehrt ("risk/return tradeoff"). Die in
der Standardabweichung gemessene Volatilität eines Kapitalpostens liefert
mithin einen zweckdienlichen Anhaltspunkt bei der Erwägung, mit welcher
Wahrscheinlichkeit sich ein erstrebtes Kursziel erreichen lässt.
[* Methodologisch
zu prüfen wäre, ob es überhaupt am Platze ist, die Unsicherheit in der
Vorausbestimmung von Börsenkursen auf Standardabweichung und Erwartungswert
einer statistischen Verteilung zu verdichten.]
Gesetzt den Fall, die Renditeverteilung
einer Investition ist an statistische Regelmäßigkeiten gebunden, wie
etwa durch die Gaußsche
Normalverteilung unmittelbar zum Ausdruck gebracht, so lässt sich
das Risiko vollständig beschreiben. Gehorcht sie der letztgenannten,
so gilt demgemäß: Im Bereich [μ – 1σ | μ + 1σ] liegen 68,268
% der Renditen, im Bereich [μ – 2σ | μ + 2σ] liegen
95,45 % und im Bereich
[μ – 3σ | μ + 3σ] liegen 99,73
% der Renditen.
[Anmerkung: Statistische
Verteilungen beschreiben Zufallsgesetzmäßigkeiten. Im Falle der Gaußschen
Normalverteilung lehrt allein der Augenschein, dass die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass die tatsächliche Rendite zwischen
+/– einer Standardabweichung
vom Erwartungswert liegt, etwa 2/3 beträgt und infolge davon jeweils
etwa 1/6 dafür, dass sie unterhalb bzw. oberhalb dieses Intervalls liegt.
Diese Aussage hat jedoch ihrer asymmetrischen Gestalt halber keine Geltung
für logarithmierte Normalverteilungen.]
|
Beispiel zur Berechnung der Renditen und der historischen
Volatilität einer Aktie aus den festgestellten Schlusskursen:
|
Es sei die historische Volatilität der
ABCD-Aktie auszurechnen. Hierzu stellen wir musterhaft die Veränderungsreihe
der im vorangehenden Jahr (mit Einschluss des vorvorjährigen Dezembers)
an der Börse festgestellten Monatsschlusskurse auf:*
Monat |
Dez |
Jan. |
Feb. |
März |
April |
Mai |
Juni |
Juli |
Aug. |
Sept. |
Okt. |
Nov. |
Dez |
Kurs |
100,00 |
108,00 |
113,40 |
111,70 |
116,50 |
117,90 |
110,00 |
105,60 |
109,30 |
105,80 |
102,00 |
107,10 |
114,60 |
[* Ebenso gut könnten Tageskurse,
Wochenkurse, Vierteljahrskurse oder auch die Kurse jeder beliebigen
Zeitspanne der Aufstellung zugrunde gelegt werden.]
a.) Berechnung der Monatsrenditen
der ABCD-Aktie: 1.Schritt:
Es sei angenommen, nach Erhebung aller
Daten liege für die ABCD-Aktie eine Kurssequenz von Monatsschlusskursen
gemäß der vorausgeschickten Tabelle als gegeben vor. Im ersten Schritt
sollen nun die Renditen der Aktie für die einzelnen Monate (in unserem
Beispielsfall also die der Monate Januar bis Dezember des Jahres) berechnet
werden. Dazu wird der Schlusskurs des jeweiligen Zeitabschnitts durch
den Schlusskurs des vorgängigen Zeitabschnitts dividiert (vgl. in der
nachstehenden Tabelle die mittlere Zeile "1 + Rendite"; engl. "value
relative"). Nach Abzug von 1 und Multiplikation mit 100 erhalten
wir im Endergebnis folgende 12 Monatsrenditen (in Prozenten),
wie in der letzten Zeile der nachstehenden Tabelle aufgezeigt:
Monat |
Dez |
Jan. |
Feb. |
März |
April |
Mai |
Juni |
Juli |
Aug. |
Sept. |
Okt. |
Nov. |
Dez |
Kurs |
100,00 |
108,00 |
113,40 |
111,70 |
116,50 |
117,90 |
110,00 |
105,60 |
109,30 |
105,80 |
102,00 |
107,10 |
114,60 |
1+Rendite |
– |
1,080 |
1,050 |
0,985 |
1,043 |
1,012 |
0,933 |
0,960 |
1,035 |
0,968 |
0,964 |
1,050 |
1,070 |
Rendite |
– |
8 % |
5% |
–1,5% |
4,3% |
1,2% |
–6,7% |
–4% |
3,5% |
–3,2% |
–3,6% |
5% |
7% |
2.Schritt:
Um bei der Ausmittlung der Volatilität
nicht gegen entscheidungstheoretische Plausibilitätsannahmen zu verstoßen,
wird im Schrifttum gefordert, dass dem Kapitalanleger eine sog. "quadratische
Bernoulli-Nutzenfunktion" zuzuführen sei und/oder dass die Renditen
des Investitionsobjekts statistisch normalverteilt seien. Da logarithmierte
(stetige) Aktienrenditen im Gegensatz zu einfachen (diskreten) Renditen
ungeschwächt für normalverteilt gelten*, werden in diesem Schritt
die Kursverhältnisse aus der Zeile "1 + Rendite" der vorangehenden
Aufstellung mit dem natürlichen Logarithmus** logarithmiert.
Als Ergebnis (dann wiederum multipliziert mit 100) erhalten wir eine
Zeitreihe, wie sie der letzten Zeile der folgenden erweiterten Arbeitstabelle
zu entnehmen ist ("log. Rend.", in Prozenten, gerundet auf zwei
Nachkommastellen).
Monat |
Dez |
Jan. |
Feb. |
März |
April |
Mai |
Juni |
Juli |
Aug. |
Sept. |
Okt. |
Nov. |
Dez |
Kurs |
100,00 |
108,00 |
113,40 |
111,70 |
116,50 |
117,90 |
110,00 |
105,60 |
109,30 |
105,80 |
102,00 |
107,10 |
114,60 |
1+Rendite |
– |
1,080 |
1,050 |
0,985 |
1,043 |
1,012 |
0,933 |
0,960 |
1,035 |
0,968 |
0,964 |
1,050 |
1,070 |
Rendite |
– |
8% |
5% |
–1,5% |
4,3% |
1,2% |
–6,7% |
–4% |
3,5% |
–3,2% |
–3,6% |
5% |
7% |
log. Rend. |
– |
7,70% |
4,88% |
–1,51% |
4,21% |
1,19% |
–6,94% |
–4,08% |
3,44% |
–3,25% |
–3,67% |
4,88% |
6,77% |
[* Die Annahme
einer logarithmierten Normalverteilung von Aktienrenditen beachtet die
Restriktion, dass der Anteilhaber niemals mehr Geld verlieren kann als
die Geldsumme ausmacht, die er auf den Kauf seiner Aktien ausgelegt
hat. Als eine für den Finanzpraktiker wie den Theoretiker gleichermaßen
sich günstig erweisende Eigenschaft logarithmierter Renditen tritt hinzu,
dass sie nicht nur den wirklichen Verhältnissen auf den Sekundärmärkten
recht nahe kommen, sondern dass unter ihrer Beihilfe, zumal bei Grenzwertuntersuchungen,
sich damit in methodisch schlüssiger, folgerichtiger Weise rechnen lässt.]
[** Der natürliche
Logarithmus hat die Konstante e = 2,71828... zur Basis,
dem zugestrebten
Grenzwert der Folge (1+1/n)
n,
mit n →
∞.]
3. Schritt:
Nachfolgend wird der arithmetische Durchschnitt
(Mittelwert) μ der vorliegenden 12 logarithmierten Monatsrenditen ausgerechnet.
Das arithmetische Mittel einer gegebenen Anzahl beobachteter Vergangenheitsrenditen
r einer Investition ergibt sich allgemein nach der Formel:
μ = (1/n) ·
Σ
rt
,
mit
n
: Anzahl der der Rechnung zugrunde liegenden Renditen,
rt
: Rendite der Betrachtungsperiode t (mit t = 1, ..., n) , und
Σ : Summensymbol
(gr. Sigma, nach dem achtzehnten
Buchstaben des griechischen Alphabets).
Die abgewandelte
Formel zur Errechnung des logarithmierten Mittelwerts
(μln)
lautet demgemäß:
μln = (1/n) ·
[Σ ln(1 + rt)]
.
Die Division
der Summe der logarithmierten Monatsrenditen (gerundet, in Prozenten)
durch 12 liefert in unserem Beispiel also den gesuchten Mittelwert μln:
μln
= (7,70 + 4,88 – 1,51 + 4,21 + 1,19 – 6,94 – 4,08
+ 3,44 – 3,25 – 3,67 + 4,88 + 6,77) / 12 = 1,135.
Ergebnis:
Die durchschnittliche logarithmische Monatsrendite der ABCD-Aktie beläuft
sich auf 1,135
%.
b.) Berechnung
der Varianz σ2 und der Standardabweichung σ der logarithmierten
Renditen: 1. Schritt:
Um quantitative
Aussagen über das (für sich allein betrachtete) Risiko der ABCD-Aktie
treffen zu können, ist als Nächstes ihre Varianz zu berechnen. Die Varianz
σ2 ist definiert als die Summe aus den ins Quadrat erhobenen
Abweichungen der Einzelausprägungen vom Mittelwert geteilt durch die
Zahl der Einzelausprägungen. Zur Ausmittlung der Varianz einer Grundgesamtheit
von Werten bedient man sich also allgemein der folgenden Formel:
σ2
= (1/n) · [Σ
(rt –
μ)2]
,
wobei unter
der Summe die Einzelausprägungen der Grundgesamtheit laufen.
Wird aus
einer Stichprobe ein Schätzwert für die Varianz einer Grundgesamtheit
gesucht, so führt die Statistik uns vor, dass zum Ausgleich von Stichprobenschätzfehlern
der Nenner, hier: n, um 1 zu vermindern ist, um eine weitgehend erwartungstreue
("unbiased") Schätzung zu erreichen. Eine solche Anpassung ist
insbesondere immer dann vonnöten, wenn – wie hier am Beispiel der ABCD-Aktie
demonstriert – nur eine mäßige Zahl von Beobachtungswerten vorliegt.
Wir erhalten demgemäß:
σ2
= [1/(n –
1)]
· [Σ
(rt – μ)2]
.
Die Varianz wird hierbei bestimmt durch
Anwendung des oben errechneten logarithmierten Mittelwertes von μln
= 1,135, indem dieser Wert von den einzelnen logarithmierten Monatsrenditen
in Abzug gebracht und daraufhin quadriert und aufsummiert wird. Anschließend
wird noch, wie erfordert, durch (n–1)
geteilt. Unsere so modifizierte Formel lautet demgemäß:
σ2 = [1/(n
– 1)] ·
[Σ (ln (1 + rt) –
μln)2]
.
Die Beispielswerte eingesetzt ergibt die
folgende Varianz:
σ2
= [(7,70
– 1,135)2 + (4,88
– 1,135)2 + (–1,51 – 1,135)2 + (4,21 – 1,135)2
+ (1,19 – 1,135)2 + (–6,94 – 1,135)2 + (–4,08
– 1,135)2 + (3,44 – 1,135)2 + (–3,25 – 1,135)2
+ (–3,67 – 1,135)2 + (4,88 – 1,135)2 + (6,77 –
1,135)2] /
11 = 259,39/11 = 23,58.
2. Schritt:
Da die gesuchte historische Volatilität
eines Investitionsobjekts in der Standardabweichung σ gemessen wird,
ist zu ihrer Kalkulation als Nächstes die positive Quadratwurzel aus
der oben berechneten Varianz σ2 zu ziehen:
σ =
[(1/(n – 1))
· [Σ (ln (1 + rt)
– μ)2]]½
, bzw.
σ = √23,58
= 4,856
%.
Die Standardabweichung (σ) der Monatsrenditen
beträgt demnach gleich 4,856
%. Man beachte, dass die Standardabweichung σ im Gegensatz zur
Varianz σ2 inhaltlich vollkommen kommensurabel ist mit ihren
Ursprungswerten. Sie hat insbesondere die gleiche Dimension wie die
zu ihrer Aufsuchung verwendeten Zahlengrößen, d.i.
in unserem Rechenbeispiel also die Dimension Prozent (%).
Hinweis:
Die Berechnung der Standardabweichung (σ) der logarithmierten Renditen
einer Aktie kann alternativ zu Schritt 1 und 2 auch nach dem Ausdruck
σ
= [∑rln2
/ (n–1) – [(∑rln)2
/ n · (n–1)]]1/2
erfolgen, wobei rln die logarithmierten
Renditen der Aktie bezeichnet.
3. Schritt:
Aus dem Wunsch, die aus mehreren verschiedenen
Vermögensanlagen erwirtschafteten Einzelrenditen, welche bezogen auf
ihre Dauer jede für sich überwiegend auseinandergehen werden, so gut
wie irgend möglich vergleichbar zu machen, bedient man sich im kaufmännischen
Verkehr aus Gründen der Zweckmäßigkeit der Annualisierung der Gewinnraten.
So ist es beispielsweise bei den Kreditgeschäften Sitte, nach Prozenten
für die Zeitdauer eines Jahres (per annum) zu rechnen, ein Rechnungsverfahren,
das bei uns auch unter der Benennung "effektiver Jahreszins"
("annual rate of return") bekannt ist. Ein Ähnliches greift durch
bei der Vergleichung von statistischen Standardabweichungen. Hierbei
ergibt die auf ein Jahr gewendete ("hochgerechnete") Standardabweichung
(= Jahresvolatilität) in ihrer Ausdrucksform das gesuchte Risikomaß,
das unter der Bezeichnung Volatilität
eines Investitionsobjekts endlich Eingang in die Finanzierungslehre
gefunden hat.
Das für die Berechnung der historischen
Volatilität der in Untersuchung gezogenen Aktie nötige Kursmaterial
ist wieder aus der Vergangenheit hergeholt, nämlich von einer planmäßigen
Beobachtung des Kurses durch eine gewisse Spanne Zeit. Der im Vorausgehenden
angestellte Rechnungsvorgang fußt beispielsweise auf einer monatlichen
Kursfeststellung. Ebenso wohl ist es angängig, davon abweichende fertig
gegebene Zeitspannen als Bezugsgrößen heranzuziehen. Weil an den Handelsplätzen
die weitaus meisten Finanztitel heutzutage börsentäglich umgesetzt werden,
macht die Volatilitätsberechnung aus naheliegenden Gründen in aller
Regel demgemäß Gebrauch von täglichen, von Schlusskursen stammenden
Kursänderungen, die sie als Urmaterial in ihre Rechnung übernimmt.
Gleichviel indes, ob der Rechnung ursprünglich Tages-, Wochen-, Monats-
oder Quartalsschlusskurse und entsprechende Renditen zugrunde liegen,
lassen diese sich mit Leichtigkeit in die beabsichtigte Jahresvolatilität
umgestalten. Dafür wird schlicht und einfach die vorliegende Standardabweichung
σ malgenommen mit der Quadratwurzel aus der Zahl des sich in einem Jahr
wiederholenden Referenzzeitraums.
Der Ausdruck für die annualisierte Standardabweichung
(= Volatilität) lässt sich
somit auf eine Kurzformel bringen:
σann =
σ · √n
.
[Anmerkung: Die
Verwendung der Volatilität als Risikomaß einer Kapitalanlage impliziert,
dass das Risiko einer Investition mit sich entfernendem Anlagehorizont
nicht linear (degressiv) zunimmt.]
Ist die Standardabweichung, wie hier im
Fallbeispiel, die Ergebnisgröße monatlicher Renditen, so hat
demgemäß die Multiplikation der (monatlichen) Standardabweichung
σm mit
der Wurzel aus 12 zu erfolgen, d.h.
σm x √12 =
gesuchte historische Volatilität σann
der ABCD-Aktie. Die oben gegebenen Werte eingesetzt ergibt:
σann
= σm
· √12
= 4,856%
· 3,4641 = 16,8217
% = Volatilität der ABCD-Aktie.
(Gerundet
bis auf 4 Stellen hinter dem Komma.)
Die historische Volatilität lässt sich
in vortrefflicher Weise als Vergleichsmaßstab für die Schwankungsbreite
kurshabender Vermögenswerte gebrauchen. So schlägt die Volatilität der
untersuchten ABCD-Aktie im Zusammenhalt mit manch anderen Aktien recht
klein an. Aktien als Anlageklasse ("asset class") genommen haben
für gewöhnlich Jahresvolatilitäten, die im langfristigen Durchschnitt
ungefähr zwischen 15 und 60%
gelegen sind. Sogenannte Blue Chips, also Börsenpapiere ersten
Ranges, wie alle diejenigen Werte, die z.B.
im DAX®
oder im Dow Jones
(DJIA) enthalten sind, weisen je nach Aktiengattung Volatilitäten zwischen,
roh gerechnet, 20 und 40% vor.
Die hier betrachtete ABCD-Aktie gehört ihrer mäßigen Volatilität wegen
unter die Klasse der "Defensive Issue" (Anlagepapiere). Börsenpapiere
der vorgenannten Sorte zeigen sich überwiegend unbeirrt vom Wechsel
der Konjunktur und sind meist entweder den altbegründeten, krisenfesten
Unternehmungen aus dem Bereich der Konsumgüterhersteller* für
den täglichen und gehobeneren Bedarf ("consumer staples", "consumer
discretionaries") zuzurechnen oder reihen sich ebensolchen gefestigten
Gesellschaften aus dem Zweige der Versorgungsunternehmungen ("utilities")
ein.
[* Zu den
weithin bekannten Aktiengesellschaften dieses Zweiges zählen, neben
manchen anderen, z.B. Unternehmungen
wie
Procter & Gamble und
Johnson
& Johnson.]
Abschließende Anmerkungen:
Da aufgrund von Handelspausen an Wochenenden und an Feiertagen, je nach
Land, und sonstigen Brüchen in den Zeitreihen ein Kalenderjahr lediglich
etwa 250 Börsenhandelstage aufweist und empirische Befunde überdies
darauf hindeuten, dass in richtig bemessener Weise eher Börsenhandelstage
denn Kalendertage für eine zutreffende Bestimmung der Volatilität einer
Aktie maßgeblich seien, multipliziert man zur Annualisierung der Standardabweichung
im Falle vorliegender Tagesrenditen mit der Wurzel aus 250 statt
aus 365, d.h.
σann =
σt · √250.
Um der Steigerung des Aussagegehaltes
bei der Ausmittlung der Aktienkursvolatilität willen ist es für den
Fall von Tagesrenditen empfehlenswert, den Rechnungsgrößen ungefähr
die letzten 90 bis 180 Handelstage zugrunde zu legen, bei Monatsrenditen
dagegen sollten es mindestens 36 Monatsrenditen sein. Zwar steigt die
Genauigkeit und Zuverlässigkeit einer Schätzung der Volatilität grundsätzlich
mit zunehmender Zahl der in die Berechnung einfließenden Renditegrößen;
da indessen der Belauf der Volatilität auf die Länge der Zeit erfahrungsgemäß
Veränderungen* erfährt, und älteren Renditen oftmals wenig oder
gar keine Aussagekraft für heute zu treffende Prognosen und Anlageentscheidungen
beschieden ist, kann die Berücksichtigung von mehr als etwa 180 Renditen
mitunter sogar abträglich sein.
[* Eine brauchbare
Nutzung der historischen Volatilität ("realized volatility")
zur Schätzung der zukünftigen Volatilität ("future volatility")
impliziert, dass die historische Volatilität auch in den darauf folgenden
Zeitstufen konstant bleibt. Neuestens unternehmen sog. (G)ARCH-Modelle
sowie deren Erweiterungen (Exponential GARCH, Integrated GARCH usw.)
den Versuch, die in Wahrheit auftretenden Änderungen der Volatilitäten
im Zeitverlauf mit verfeinerten mathematisch-statistischen Mitteln in
den Griff zu bekommen. GARCH steht hierbei als Abkürzung für engl. "Generalized
Autoregressive Conditional Heteroskedasticy".]
Wenngleich sich auch solche Renditeausprägungen,
die einkalkulierte Dividenden- und Bezugsrechtserlöse umfassen, auf
einfache Weise mit in die Bestimmformel der Volatilität für eine Aktie
einstellen ließen, bleiben Renditen dieser Färbung in der wahrhaftigen
Rechnung zumeist außer Ansatz. Eine solche methodische Vorgangsweise
ist neben anderem zurückzuführen auf den Umstand einer von Fall zu Fall
ungleichen steuerlichen Handhabung von Ausschüttungserträgen aus dem
Aktienvermögen in den Empfängerkreis der Anteilseigner.
Für andere viel gebrauchte Zeitintervalle
gilt entsprechend:
σann =
σw · √52 für Wochenrenditen,
und σann =
σq · √4 für Quartalsrenditen.
Zu einer genauer bestimmten Ausmittlung
der Volatilität wird eine Spanne Zeit von gewisser Länge herangezogen,
die sich für den vorgesehenen Zweck am meisten empfiehlt. Im obigen
Beispiel etwa wurde die Volatilität aus den Monatsrenditen durch ein
ganzes Jahr hindurch berechnet. Der Ermittlung der Volatilität können
grundsätzlich beliebige Zeiträume zugrunde gelegt werden. Es können
dafür Tages-, Wochen-, Monats-, Vierteljahres- oder Jahresrenditen gleichermaßen
zum Einsatz kommen. Liegen der Rechnung beispielshalber Tagesrenditen
der Schlusskurse der letzten 30 Handelstage zugrunde, die auf das Jahr
hochgerechnet wurden, so spricht man von einer 30-Tage-Volatilität (p.a).
Hier wie auch im Falle einer 250-Tage-Volatilität p.a.
– beide sind in der Wirtschaftspresse besonders häufig anzutreffen –
bedarf es einer Annualisierung nicht mehr, da sie der gesuchten Kennzahl
"historische Volatilität, σann"
bereits entsprechen.
Um bei der vergleichenden Gegenüberstellung
von Aktien, die sich sowohl rücksichtlich ihres Risikos als auch ihrer
Renditeerwartungen unterschiedlich zeigen, Aussagen mit Anspruch auf
erhöhte Treffsicherheit zu machen, greift man neben anderen häufig auf
ein relativiertes Streuungsmaß zurück: den sog. Variationskoeffizienten
v. Der Variationskoeffizient v ist definiert als das
Verhältnis von Standardabweichung σ zu Erwartungswert der Rendite μ,
d. h.
v = σ/μ. Es beziffert damit das übernommene Risiko für
die Renditeeinheit. Die hier untersuchte ABCD-Aktie hat demnach
einen auf einen Monat bezogenen Variationskoeffizienten von 4,856 /
1,135 = 4,278.*
[* Nicht verkannt
werden darf, dass v, hierin ungleich seiner Bestimmungsgrößen,
als dimensionslos anzusehen ist.]
Der sachliche Nachteil indes, der dem
Variationskoeffizienten v aus sich heraus anklebt, ist aus seiner
hochgradigen Empfindlichkeit (Reagibilität) zu erklären, die besonders
dann spürbar wird, wenn er sich auf verwirklichte Tages-Renditen oder
doch auf die Verwirklichung nur von sehr kleinen Renditeausprägungen
stützt. Das macht ihn letztendlich für eine nicht eben geringe Anzahl
von praktischen Zwecken bloß in recht eng begrenztem Maße tauglich.
Nächst dem Ansatz der historischen
Volatilität steht ein zweiter Ansatz aufrecht, welcher der künftigen
Volatilität gerecht zu werden sucht: die sogenannte implizite
Volatilität ("implied volatility", "implicit volatility").
Diese lässt sich schicklich auf der Grundlage eines Optionspreismodells,
wie es etwa unter der Bezeichnung "Black-Scholes-Merton-Modell" in Fachkreisen
bekannt ist, mit logischer Bestimmtheit erschließen, wenn aus inneren
Gründen (implizit) davon auszugehen ist, dass die infrage stehende
Option am Markt eine sachgerechte
und angemessene ("faire") Bewertung erfährt. In diesem Fall gibt sie
die allgemeine Marktbeurteilung der voraussichtlich durch die Laufzeit
der Option hindurch bestehenden und als gleichbleibend angenommenen
Volatilität wieder. Man erhält die Kennzahl der impliziten Volatilität
(kurz: IV), falls wirklich
vorhanden, aus dem im Handelsverkehr hervorgebrachten Optionspreis des
untersuchten Finanzinstruments, indem dieser, neben den anderen bekannten
Größen*, als Preisziffer Eingang in die Optionspreisformel finden.
Die gesuchte implizite Volatilität ist hierbei eindeutig erklärt als
jene Volatilität σ, bei der sich mathematisch bestimmt der theoretische
Optionspreis aus der Formel dem tatsächlichen Marktpreis der untersuchten
Option (Optionsprämie) gleichstellt.
[* Diese Größen
("Parameter") umfassen 1.) den präsenten Preis des Basisgegenstandes,
2.) den Ausübungspreis, 3.) die Restlaufzeit, 4.) den
Marktzinsfuß für sichere Geldanlagen, berechnet auf die Laufzeit
und 5.) die während der Laufdauer aus dem Basisobjekt verdienten
Erträgnisse (z.B. Dividenden).]
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