Der "cost of carry"-Ansatz zur Bepreisung von Futures auf Investitionsgüter

Die auf der vorigen Seite hergeleiteten Ergebnisse lassen sich in Weiterführung der Überlegungen auf einfache und objektive Weise verallgemeinern. Dazu sei die folgende Symbolik verwendet:

K₀ : Preis einer Einheit der dem untersuchten Futures zugrunde liegenden Sachgesamtheit seines Marktgegenstandes ("underlying") zum augenblicklichen Bewertungszeitpunkt (zu t₀);

F₀ : Futurespreis zum gleichen Betrachtungszeitpunkt (zu t₀), der sich gemäß Notierungsusancen der Börsen ebenso auf eine Einheit der jeweiligen Sachgesamtheit seines Marktgegenstandes richten mag;

t   : in Jahren ausgedrückte Zeitdauer bis zum Erfüllungstermin des Futures; z. B. "t = 0,5" für sechs Monate Restlaufzeit, oder: "t = 1", bei einer Restlaufzeit im Futures von genau einem Jahr usw.;

i   : konstante einheitliche Rate des Zinsfußes ("spot rate", per annum) für eine risikolose Geldanlage bzw. Kreditaufnahme mit Laufzeit t.

Darüber hinaus sei vereinfachend angenommen, dass – wie zuvor bereits stillschweigend unterstellt – Märkte frei sind von Friktionen mit dem Erfolge eines freien Marktzugangs zu beiden Segmenten, d. h. zum Termin- sowohl als zum Kassamarkt. Nirgends und niemals mögen verzerrend Steuern eine Rolle spielen noch Transaktionskosten (wie Maklergebühren, Zölle, Transportspesen u. dgl.) beim Kauf und Verkauf anfallen. Gesetzt ferner, alle Güter, als solche alle von vollkommen gleicher Güte, lassen sich ungehindert und kostenlos auf unbegrenzte Dauer und dabei ohne jegliche Qualitätseinbuße in Verwahrsam halten. Auch Leerverkäufe mögen bedingungslos möglich sein. Alle Marktgegenstände seien zudem beliebig teilbar. Der Disponierende kann also, falls erforderlich, bis zu einem Bruchteil eines Cent herab in jeden Wert investieren. Des Weiteren sei unterstellt, es stehen sämtliche entscheidungsrelevanten Informationen allen Marktteilnehmer sofort und zu jeder Zeit offen und kostenlos zur Verfügung (informationseffiziente Märkte). Es herrsche mithin ein völlig freier, unbeschränkter beidseitiger Wettbewerb bei vollkommener Markttransparenz. Kein einziger Akteur mag die Macht besitzen, die groß genug ist, um einen spürbaren Einfluss auf die Marktpreisgestaltung auszuüben (Mengenanpasser, "price taker"). Es bestehe fernerhin nicht das geringste Kreditrisiko und damit auch keine Notwendigkeit für die Leistung von Margin-Zahlungen. Die Marktteilnehmer können folglich zu einem bekannten, finanziell risikolosen und im Zeitablauf konstanten Zinssatz i ("risk free rate of return") nach ihrem Belieben Geld aufnehmen und auch veranlagen. Endlich sei angenommen, dass alle Marktakteure streng rational zu ihrem persönlichen Vorteil handeln in dem Sinne, dass sie ihren erwarteten Wohlfahrtsnutzen zu maximieren trachten, wobei eine hinreichend große Zahl unter ihnen allemal bereit steht, bei ungehemmter Arbitrage jede lohnenswerte Arbitragegelegenheit unverzüglich wahrzunehmen.*

[* Anmerkung: Der voraufgehende vereinfachende Bedingungsrahmen schließt die aus der landläufigen Fachliteratur familiäre "Annahme vollkommener Märkte" mit ein; die damit verbundene Problematik, mit Inbegriff von Auswirkungen einer Aufhebung einzelner jener Annahmen, sei jedoch an dieser Stelle der Kürze wegen hintangestellt.]

Sind jene Modellvoraussetzungen einer idealen Vollkommenheit getroffen, so lässt sich, von allem anderen abstrahierend, der theoretisch korrekte Preis ("fair value"*) von Futures auf Investitionsgüter auf einfache Weise aus beobachtbaren (jederzeit verifizierbaren) Marktvariablen gesetzmäßig bestimmen. Im Folgenden sei der sog. "cost of carry"-Ansatz ("cost-of-carry price relationship", "carrying charge theory") der Bewertung vorgestellt, dem auch im gängigen Schrifttum eine zentrale Bedeutung zukommt. Anzumerken ist, dass es hierzu noch weitere, nicht minder belangreiche, konkurrierende Lösungsansätze** gibt.

[* Anmerkung: Die Übersetzung von "fair value" frischweg im Sinne von "fairer und gerechter Preis eines Futures" wäre verfehlt. Einzig und allein der Börsenpreis eines Futures kann sein gerechter Preis sein, da er i. Allg. je nach Marktlage unter Mitwirkung zahlreicher Marktakteure in objektiver Weise durch eine sich immerfort erneuernde Abstimmung zustande kommt (= "Konsensuspreis").]

[** So etwa in der Fassung des sog. "Expectations Model". – Hinweis: Konkurrierende Lösungsansätze und Bewertungsverfahren kommen mitunter auch zu sachlich divergierenden Modellergebnissen. So behauptet etwa das "Expectations Model", dass der Terminpreis eines Futures dem im großen Durchschnitt für den Fälligkeitszeitpunkt erwarteten Preis des Basisobjektes entsprechen müsse. Die Unsicherheitsursachen, die aus verschiedenen Lösungskonzepten folgen, werden durch das sog. Modellrisiko begrifflich erfasst.]

Vorerst soll allein der theoretisch korrekte (ideale) Terminpreis von einkommensfreien Investitionsobjekten aus dem Erwerbsmittelkomplex ("nonpayout assets", wie z. B. jener von Gold, Silber*, dividendenlosen Aktien etc.) ausfindig gemacht und näher erläutert werden. Die Herleitung von Futures-Preisen von ertragabwerfenden Investitionsobjekten (wie bspw. solche von periodischer Wiederkehr von dividenden- oder zinstragenden Wertpapieren als unterliegende Vermögenswerte) sei im Augenblick noch zurückgestellt und erst später im Kontext der Detailerörterung von Nettofinanzierungskosten und deren Einfluss auf den Preis von Futures wieder aufgegriffen.

[* Anmerkung: Gold und Silber dürfen nicht pauschal als ertragloses Investment eingestuft werden. Wer selbes sein Eigen nennt, muss es nicht gleichzeitig auch ununterbrochen in seinem Besitz behalten. Zu denken wäre in diesem Zusammenhang etwa an vereinnahmte Gebühren für die zeitweise Überlassung von Edelmetallen (Leasing).]

Wir können nun gemäß der Arithmetik des Barwertkonzepts dynamischer Investitionsrechenverfahren die folgende grundlegende allgemeine finanzmathematische Gesetzmäßigkeit zur Bepreisung von Futures aufstellen:

F₀ = K₀ × (1 + i)^t   .*

[* Wer mit stetiger Verzinsung zu operieren liebt, bringt stattdessen die Formel F₀ = K₀ × e^rt in Ansatz. Mit r = feststehender Zinssatz p. a. bei stetiger Verzinsung, und e = eulersche Zahl.]

Damit sind zugleich die elementaren Größen namhaft gemacht, aus denen sich der Preis von Futures auf Finanz- und Anlagegüter nach dem "cost of carry"-Ansatz aufbaut. Diese abstrakte Berechnungsformel in Worten eines Lehrsatzes übersetzt besagt:

Der theoretisch richtige Futureskurs F₀ all jener Investitionsobjekte, welche weder ausbedungene Kapitalerträge abwerfen noch sonst einkommenbringend sind, ist, auf einen beliebigen Bewertungszeitpunkt t₀ gerechnet, in perfekten Märkten eindeutig bestimmt vom maßgeblichen Kassapreis K₀ des Investitionsobjekts und den zum risikolosen Zinssatz i genommenen Finanzierungskosten ("Haltekosten"), die während der verbleibenden Restlaufzeit t des Futures dafür auflaufen. Anders gewendet mit einem Wort:

Der theoretisch fundierte Futureskurs F0 eines einkommensfreien Investitionsgutes ist gleich dem in Ansatz gebrachten Kassapreis K0, aufgezinst mit dem Sicherheitszinsfuß i.*

Der regelgerechte Futures-Preis von Investitionsobjekten ("investment assets") steht damit in einem ebenso klaren als bestimmten funktionalen Verhältnis zu seinen Bestimmgrößen. Gemäß dem förmlichen Ansatz beziffert sich seine Höhe nach dem Wertanschlag der Gegenwart für das bezügliche Marktobjekt – entlehnt z.B. von dem zum gleichen Zeitpunkt herrschenden (empirischen) Kassakurs desselben – und dem Zinssatz für risikolose Kapitalsanlagen. Der Futures-Preis ist unter idealtypischen Marktverhältnissen sogar eine eindeutig bestimmte Funktion der vorgenannten Größen. Ein finanzmathematisch kalkulierter (theoretisch korrekter) Futurespreis liegt (bei positivem Zinsfuß) zur Laufzeit mithin dauernd über dem korrespondierenden Barpreis. Vorstehende Aussage ist beileibe nicht bloße abstrakte Folgerung der Theorie. Auch in der Terminmarktpraxis geben ganz analog der augenblickliche Wertanschlag des Kassamarktgegenstandes und der momentan in Kraft stehende Sicherheitszinssatz** für die zugehörige Laufzeit gemeinsam die Richtschnur vor für das Niveau, auf das ein Financial-Futureskurs sich im börslichen Handel einzupendeln strebt.

[* Buchstäblich genommen findet dieser Formalismus Anwendung lediglich auf nicht börsengehandelte (OTC-) Termingeschäfte in Gestalt von "financial forwards" (Termingeschäfte), aber strenge auch nur dann, wenn die Prämissen so beschaffen sind, dass unter selbigen sowohl der von Futures bekannte Ersteinschuss ("initial margin") als auch die für Letztere typischen börsentäglichen Ausgleichszahlungen ("marked to market") außer Ansatz bleiben. Allerdings lässt sich schlüssig nachweisen, dass jedenfalls bei konstanter und über alle Laufzeiten gleicher (deterministischer) Zinsstruktur der theoretische Futureskurs mit dem ihm gegenüberstehenden (Gleichgewichts-) Terminkurs von "financial forwards" exakt zur Übereinstimmung kommt. Sind diese Voraussetzungen indes nicht gegeben, kann es dadurch bedingt zu geringfügigen (wenn auch zumeist ökonomisch nicht signifikanten) Bewertungsverschiedenheiten kommen (vgl. dazu etwa: J.C. Cox, J.E Ingersoll, S.A. Ross: "The Relationship between Forward and Futures Prices", Journal of Financial Economics 9 (1981), S. 321-346). Weichen hinwiederum die Preise beider Instrumente tatsächlich einmal über Gebühr voneinander ab, wird dies an den Märkten sofort eine Futures/Forward-Arbitrage einleiten. Davon abgesehen kann es aufgrund weiterer Faktoren, wie etwa wegen unterschiedlicher steuerlicher Belastung einzelner Marktakteure, Unterschieden bei den Transaktionskosten oder auch rücksichtlich vorhandener "delivery options", im Ergebnis zu verschiedenen Bewertungen kommen. – Da aber all dies nach dem vorstehend Gesagten keinen Einfluss auf das Prinzip und das Wesen von fixen Termingeschäften übt, ist es durchaus zulässig, Preisbildungsmodelle für Futures hier und im Weiteren auf der Grundlage der einfacheren Zahlungsstruktur von Forwards aufzubauen, ohne dass die Schlussfolgerungen dadurch an Richtigkeit irgendeine Einbuße erleiden.]

[** Vorbedingung hierfür freilich ist, dass sowohl der Wert des Basisinstruments als auch des Marktzinsfußes jederzeit empirisch messbar sind. – Anmerkung: Es kann nur der Sicherheitszinsfuß in Ansatz kommen, da der Terminpreis als fertig ausgehandelte Größe keinerlei Unsicherheit unterliegt.]

Die durch obige Gleichung zum Ausdruck gebrachte formelle Schlüssigkeit, die für alle Investitionsgüter, welche während der Laufzeit eines darauf abgeschlossenen Futures keine Einnahmen (wie z. B. Zinsen, Dividenden etc.) eintragen, einen über ihrem Kassakurs liegenden Futures-Preis erbringt, ist unter den gegebenen Bedingungen offenbar auch sachlich und logisch unanstößig; denn im Vergleich zu einem fremdfinanzierten Direkterwerb des betreffenden Gutes mit einer sich hieran schließenden Aufbewahrung desselben bis hin zum künftigen Nutzungszeitpunkt sind im Falle eines Terminkaufs über einen Futures zu diesem Zweck schließlich keinerlei zusätzliche Finanzmittel aufzuwenden (Auswirkungen des "mark to market"-Prinzips als auch von Refinanzierungskosten für Margin-Zahlungen mögen hier, wie gesagt, zur Vermeidung unnötiger Komplexität zunächst außen vor bleiben). Als in einer Gegenrechnung zu veranschlagende Kostengrößen, die hierbei gegenüber einem duplizierenden Direkterwerb im Kassamarkt eingespart werden, wären an denkbaren Kostenelementen zu berufen: Zinsaufwendungen für die notwendige Finanzierung, daneben erforderlichenfalls Kosten für den Transport und die Lagerung von Gütern sowie etwaige Prämienzahlungen für Versicherungen, wie sie oftmals pauschal mit der Beschaffung und der Vorrätigkeit eines Gutes anfallen. Da indessen bei einem Termingeschäft alle derartigen Kosten ausbleiben, muss, um gleiche Preise für gleichwertige Handlungsalternativen zu gewährleisten, der gegenüberstehende Futureskurs um die hierbei eingesparten Mittel höher liegen. Ins Einzelne ausgeführt:

Für den Halter eines Wirtschaftsgutes, der dessen Beschaffung mit Eigenkapital finanziert hat, machen entgangene Zinserträge auf das darin beschäftigte Kapital einen sehr namhaften Teil seiner Haltekosten aus (Opportunitätskostenprinzip). Bei Fremdkapitalfinanzierung dagegen schlagen die Haltekosten sich größtenteils in Zinsaufwand für das dafür aufgenommene und gebundene Fremdkapital (= Kapitalkosten) nieder. Fernerhin treten je nach Beschaffenheit des Gutes im Regelfall der Wirklichkeit oftmals noch Transport-, Lager- (bzw. Depot-), Viehhaltungs-, Versicherungs-, Konservierungs-, Wartungs- sowie sonstige gewöhnliche Kosten, z. B. für Bescheinigungen, Gutachten u. dgl., hinzu, die praktisch sofort zu bezahlen sind.* Im Einklang mit den börslichen Notierungsusancen übertragen auf eine Einheit der Wertgesamtheit seines Underlying muss der Futures demnach in seinem fairen Kurse um die eingesparten Mittel höher stehen als der Kassakurs, um nicht eine der beiden auf den Fälligkeitszeitpunkt gewendeten völlig gleichwertig dastehenden Handlungsalternativen in einem preislich vorteilhaften Licht erscheinen zu lassen. Wäre die Sache nicht so, käme es zu einer Verletzung des "Gesetzes des einheitlichen Preises". Der Zustand der Unterlegenheit einer der vorstehenden Handlungsalternativen kann aber dann und deshalb nicht von langer Dauer sein, wenn und weil in effizienten Märkten dieselbe sich nach Belieben durch eine andere, billigere ersetzen lässt (Arbitrage). Unter den obigen Modellannahmen muss der Terminpreis sich mithin auf eine durch die allgemeine Formel zur Preisbestimmung von Futures festgelegte Höhe stellen.

[* Wie derartige Kosten der Bestandhaltung in die obige Formel eingebracht werden, wird auf der nächsten Seite erläutert. − Anmerkung: Augenfällig ist, dass unter dem hier geltenden Bedingungsrahmen der berechnete Futureskurs F₀ im Ergebnis unbeeinflusst bleibt von Faktoren, wie persönliche Risikoneigungen Einzelner oder Erwartungen und Wahrscheinlichkeitsannahmen der Marktbeteiligten, die sich auf den zukünftigen Kassakurs des "underlying" bzw. auf die voraussichtliche Volatilität des Kassakurses K₀ und deren Änderung richten.]

Wird die Formel F₀ = K₀ × (1 + i)^t , die konzeptionell ja für jede Art von einkommensfreien Investitionsobjekten greift, angewendet auf das Situationsbild unseres einführenden Beispiels zur Arbitrage, so erhalten wir bei einem risikolosen Zinsfuß von annahmegemäß 4 % p. a. den folgenden Kontrakt-Preis F₀ als den heutigen, theoretisch richtigen ("fairen") Wert eines COMEX-Gold-Futures mit Restlaufzeit von einem Jahr:

F₀ = 380 US-$ × (1,04)¹ = 395,20 US-$   (q. e. d.).

Wie leicht nachzuprüfen ist, bewahrheitet sich das vorstehende Ergebnis vor dem hier exemplifizierten Marktumfeld und unter den oben aufgerufenen Verhaltensannahmen durch den eben geführten Beweisgang. Kommt es indessen zu Verschiebungen der einzelnen Größen, etwa weil sich (unter den sonst vorgegebenen Bedingungen) am Spotmarktpreis K resp. Zinssatz i im letzten Augenblick eine Änderung ereignet hat, so verändert sich in der weiteren Konsequenz aus dem modelltheoretischen Zusammenhang heraus auch der Futures-Preis F. Letzterer schwankt sohin von jedem gegebenen absoluten Kursniveau aus untrennbar im Einklang mit seinen Bestimmgrößen, die ihm die Richtung weisen, auf und nieder. Doch selbst dann, wenn keine Datenänderung vorgenannter Art auftritt, ändert sich der Preis eines Futures gemäß der Formel allein durch die allgegenwärtige Bewegungsursache der verstreichenden Restlaufzeit t.*

[*  Durch das Moment der Zeit verringert sich ceteris paribus (c. p.) die Differenz zwischen Kassa- und Futureskurs mit abnehmender Restlaufzeit t.]

Ganz offensichtlich handelt es sich bei dem eben hergeleiteten Futures-Preis um einen unter einem gegebenen Bedingungsrahmen theoretisch korrekten Preis eines Futures, dem sein tatsächlich festgestellter Börsenterminkurs gegenübersteht. Letzterer schwankt ("oszilliert") üblicherweise je nach den augenblicklichen Marktverhältnissen von Angebot und Nachfrage beständig um seinen modellmäßig richtigen Preis. Dabei werden sich die Schwankungen in Abhängigkeit von den dahinterstehenden Bestimmgrößen bald mehr oder minder zufällig gegenseitig verstärken, bald wechselseitig aufheben oder sich selbst beiläufig auf den theoretischen Wert nivellieren.

Unter den innewohnenden Annahmen des Modells lässt sich nun im Hinblick auf eine allgemeine, und mit den nötigen Modifikationen auch in der Finanzpraxis anzuwendende Arbitragestrategie ("basis trade") folgern, dass immer dann, wenn der an den Börsen tatsächlich beobachtete Futureskurs von ertraglosen Investitionsobjekten größer ist als der mit dem nominell sicheren Geldmarktzinssatz* i aufgezinste Kassakurs (d. h., wenn gilt: F₀ > K₀ × (1 + i)^t ), der Futures zu verkaufen (short) und gleichzeitig das unterliegende Marktinstrument im Effektivmarkt zu kaufen wäre (long). Umgekehrt gilt, wenn der beobachtete Futureskurs kleiner ist als K₀ × (1 + i)^t, so wäre nach Maßgabe der Strategie das Kassamarktinstrument gegen bar zu verkaufen (short) und der Futures zeitgleich im Terminmarkt zu kaufen (long). Jede Abweichung von der obig skizzierten arbitragefreien Kursrelation ließe sich demnach, wie eingangs am Beispiel einer "cash-and-carry"-Arbitrage** bzw. "reverse cash-and-carry"-Arbitrage demonstriert, in einem vollkommenen Markt umgehend – und zwar ohne dass dem Arbitrageur dabei nennenswerte Nettoausgaben entstehen ("Selbstfinanzierungsportfolio") – ganz ohne Risiko gewinnbringend ausnützen ("abnormal profits", "übergewöhnlicher Gewinn", "Überrenditen"). Doch sind derlei Erträgnisse aus Arbitragen wahrhaft keine unerschöpfliche Quelle: Das Eingreifen von Arbitrageuren in das Marktgeschehen setzt nämlich – falls nichts anderes die Preisrelation auseinanderhält, was außerhalb des Annahmebündels liegt – Kräfte frei, die aus sich heraus einen sofortigen Abbau von solch außerordentlichen Gewinnmöglichkeiten bewirken. Diese sorgen parallel damit für die gebotene Korrektur an den Märkten, indem sie ohne Umweg das Gleichgewichtsniveau wiederherstellen. Arbitragen bestimmen sohin den in der Praxis zu beobachtenden Preisverbund eines weitgehend gleichförmigen Verlaufs von Kassa- und Futureskursen wegleitend mit.

[* Praktisch ist dies meist die sog. Repo-Rate aus einem Repurchase-Agreement (Wertpapierpensionsgeschäft).]

[** "Cash-and-carry" bedeutet wörtlich übersetzt so viel als "bar bezahlen und im Besitzstand halten".]

Abschließende Bemerkungen: Die durch die obige "cost of carry"-Formel ausgedrückten Wirkungen können freilich nur dann rein zur Entfaltung kommen, wenn die in ihr vorausgesetzten Ursachen auch rein walten. Nur dann stellt sie das alleinige und ausschließliche Prinzip der Bepreisung von Terminkontrakten dar. Dies ist indessen auf realen Märkten selten oder nie der Fall. Auf den Letzteren begegnet man regelmäßig allerlei Hinderungen, zumal direkten und indirekten Transaktionskosten, Sicherheitsmargen, Steuern, ungleichen Zinsraten für die Geldaufnahme und -veranlagung, Leerverkaufsbeschränkungen und etlichen sonstigen Marktunvollkommenheiten. All dies bewirkt, dass sich für reale Futureskurse allenfalls eine theoretisch fundierte Zone ("no-arbitrage bound") bestimmen lässt, in der sich ein Futureskurs frei bewegen kann, ohne dass Arbitrage sich lohnt. Die Breite derselben ist abhängig vom Grad der Unvollkommenheit. Je unvollkommener der Markt sich präsentiert, desto breiter wird die Zone sich stellen und umgekehrt.

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